Средняя энергия молекул. Длина свободного пробега молекул. Эффективный диаметр

§3. Средняя энергия молекул.

Сравнивая выражения:  и  можно видеть, что     

                                                                               (12)

Т.о. термодинамическая температура есть величина пропорциональная средней энергии поступательного движения молекул. Если представить то из соотношения (12) получаем:

                                                (13)

- среднее значение квадрата модуля скорости.

Корень квадратный из этой величины называется среднеквадратичной скоростью молекул:

                                 (14)

    Только поступательно движутся лишь одноатомные молекулы. Двух и более атомные молекулы могут совершать также вращательные и колебательные движения, связанные с некоторым запасом энергии.

    При любом числе степеней свободы молекулы три из них поступательные. На каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия , согласно закону равнораспределения. Тогда средняя энергия молекулы равна:

<W> = ,

где i – сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы:

 

§4. Длина свободного пробега молекул. Эффективный диаметр.

Молекулы газа при своем движении сталкиваются друг с другом. Термин «столкновение» применительно к молекулам не следует понимать буквально и представлять себе этот процесс подобным соударению твердых шаров. Взаимодействие между молекулами характеризуются их взаимной потенциальной энергией ε_р. Кривая зависимости ε_р от расстояния между центрами молекул имеет вид:

 

Эту кривую можно также трактовать как график зависимости потенциальной энергии молекулы, движущейся в силовом поле неподвижной молекулы, помещенной в начале координат. На участке от r₀ до бесконечности между молекулами действует сила притяжения, которая при r<r₀ сменяется быстро возрастающей силой отталкивания.

Расстояние, на которое сближаются при столкновении центры молекул, называется эффективным диаметром молекулы.

Чем выше температура, т.е. чем больше кинетическая энергия молекул, тем меньше эффективный диаметр.

Величина  называется эффективным сечением молекулы.

Силы притяжения на участке от r₀ до бесконечности малы, а силы отталкивания при r<r_0, напротив, очень велики. Это дает основание рассматривать соударение молекул как столкновение не взаимодействующих на расстоянии твердых шаров диаметра d. Воспользуемся моделью шаров для средней длины свободного пробега молекулы, т.е. среднего расстояния λ, проходимого молекулой между двумя последовательными соударениями с другими молекулами.

    Вычислим среднее число столкновений ν, которые претерпевает в единицу времени данная молекула с другими молекулами. Вначале будем считать, что движется только выделенная молекула, а все остальные застыли неподвижно на своих местах. Ударившись об одну из неподвижных молекул, выделенная молекула будет лететь прямолинейно и равномерно до тех пор, пока не столкнется с другой неподвижной молекулой.

Это произойдет в том случае, если центр неподвижной молекулы окажется от прямой, вдоль которой летит молекула, на расстоянии, меньшем эффективного диаметра молекул d.

В результате соударения молекула изменит направление своего движения, после чего опять будет двигаться прямолинейно и равномерно, пока на ее пути не встретится снова молекула, центр которой находится внутри коленчатого цилиндра радиуса d. В единицу времени молекула проходит ломаный путь, равный в среднем . Число происходящих при этом столкновений с неподвижными молекулами равно количеству молекул, центры которых находятся внутри коленчатого цилиндра радиуса d и длины . Пренебрегая изломами цилиндра можно считать, что его объем равен:

V = . Умножив этот объем на концентрацию  молекул получим число  столкновений в единицу времени движущейся молекулы с неподвижными:

                                       (11)

Так как на самом деле молекулы движутся, то число столкновений определяется не средней скоростью , а относительной средней скоростью  движения молекул друг относительно друга. Можно показать, что , т.о.:

                                       (12)

  Разделив средний путь, проходимый молекулой за секунду, т.е. , на число столкновений ν’, получим среднюю длину свободного пробега молекул:

                                   (13)

или:                                                                           (14)

При постоянной температуре плотность молекул n пропорциональна давлению газа. Следовательно, длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению:

                                                (15)

Из-за уменьшения эффективного диаметра молекул  при повышении температуры длина свободного пробега при повышении температуры слабо растет.