2021-07-31
637
11.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
Если принять во внимание, что
;
где 
радиус-вектор точки, то равенство (11.1) можно представить в виде дифференциального уравнения
. (11.2)
При задании движения точки в декартовых координатах векторное уравнение (11.2) заменяется системой скалярных уравнений
; 
; 
; (11.3)
где 
проекции векторов ускорения точки 
и силы 
на оси декартовой системы координат.
Если движение точки задано в естественных осях, то с учетом выражений, определяющих проекции ускорения точки при задании движения естест-венным способом, вместо векторного уравнения (11.2) будем иметь
; 
;
где 
скорость точки; 
проекции вектора силы 
, направленные вдоль векторов 
и 
; 
радиус кривизны траектории точки.
В полярных координатах 
и 
движение точки описывается системой
|
|
|
; 
;
где 
проекции вектора силы на радиальное и трансверсальное
направления.
11.3. Две задачи динамики.
Рассмотрим решение первой и второй задач динамики при задании движения точки в декартовых координатах.
Если принять во внимание, что в общем случае
;
то система (11.3) переписывается в виде
;
;
. (11.4)
В первой задаче динамики требуется найти действующую на точку силу F по известным зависимостям 
. Как следует из уравнений (11.4) для определения проекций силы F достаточно дважды продифференцировать заданные зависимости по времени, а затем по полу-ченным значениям 
и 
подсчитать модуль искомой силы
.
Во второй задаче по заданным проекциям силы, действующей на мате-риальную точку, требуется определить ее движение. То есть вторая задача динамики сводится к решению системы дифференциальных уравнений (11.4) с известными функциями 
и
Следует отметить, что для такой системы не всегда удается получить точное аналитическое решение. В подобных случаях приходится обращаться к приближенным аналитическим методам или численному интегрированию.
Если систему удалось проинтегрировать и получить общее решение в виде
(11.5)
где 
постоянные интегрирования, то после его дифференциро-вания по времени, получим
. (11.6)
Равенства вида (11.6) получили название первых интегралов уравнений движения. Подстановка в равенства (11.5), (11.6) заданных в условии задачи начальных условий (при t = 0: 
позволяет найти зависимости постоянных интегрирования от начальных условий
|
|
|
.
Подставив полученные значения 
в общее решение (11.5), получим иско-мое решение задачи
.
Пример 11.1. Точка массы 
движется с начальной скоростью 
по эллипсу
Ускорение точки параллельно оси OY. При t = 0: 
Требуется определить действующую на точку силу 
.
Движение точки в плоскости XOY описывается следующей системой уравнений
; 
.
В данном случае известно, что ускорение точки параллельно оси OY. Это означает, что
и, следовательно, 
; 
.
Из уравнения, описывающего траекторию точки, находим
; 
.
Так как 
. При t = 0: 
. Следовательно
; 
; 
Пример 11.2. Материальная точка начинает движение из состояния покоя под действием силы тяжести 
и силы сопротивления среды, пропорциональной первой степени скорости: 
. Требуется найти скорость и записать уравнение движения точки.
Основное равенство динамики (11.1) в данном случае записывается в виде
.
Спроектируем это равенство на ось ОХ, направленную вдоль прямолинейной траектории движения точки (рис. 11.1)
. (11.7)
Рис. 11.1. Уравнение (11.7) – дифференциальное уравнение первого порядка. Разделяя
переменные и интегрируя в пределах, заданных условием задачи, находим
.
Чтобы записать уравнение движения точки, полученную зависимость скорости V от времени t представим дифференциальным уравнением
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим
.
