2021-11-13
264
К рекурсивному фильтру 1-го порядка мы обращались уже не один раз, используя его в качестве примера при рассмотрении общих положений цифровой фильтрации. Поэтому здесь приводится лишь сводка данных фильтра этого типа.
Разностное уравнение фильтра
y (n) = ax (n) + by (n - 1).
Передаточная функция фильтра
(5.36)
имеет один нуль z 0 = 0 и один полюс z П = b. Структурная схема фильтра и его нуль-полюсная диаграмма показаны на рис. 5.13.
Рис. 5.13.
Структурная схема и нуль-полюсная диаграмма рекурсивного фильтра 1-го порядка.
Комплексный коэффициент передачи фильтра
Амплитудно-частотная характеристика фильтра:
Фазочастотная характеристика фильтра:
В зависимости от знака коэффициента b цифровой рекурсивный фильтр 1-го порядка может быть либо фильтром нижних частот (при b >0), либо фильтром верхних частот (при b <0). На рис. 5.14 показаны АЧХ и ФЧХ фильтра при различных значениях b и а =1.
|
|
|
Рис. 5.14.
АЧХ и ФЧХ рекурсивного фильтра 1-го порядка при различных значениях b.
Дискретная импульсная характеристика рассматриваемого фильтра описывается выражением h (n) = abn и имеет бесконечную протяженность. Таким образом, рекурсивный фильтр 1-го порядка является БИХ-фильтром.
Графики ДИХ фильтра для различных значений b показаны на рис. 5.15. Как видим, для ЦФ верхних частот (
знаки соседних компонент ДИХ чередуются.
Рис. 5.15.
ДИХ ЦФ при различных значениях b.
Переходную характеристику g (n) БИХ-фильтра 1-го порядка определим в два этапа. Вначале найдем ее z -форму из равенства:
G (z) = H (z)· U (z), (5.37)
где H (z) – передаточная функция БИХ-фильтра 1-го порядка, описываемая выражением (5.36), U (z) – z -форма испытательного воздействия в виде единичной цифровой функции:
(5.38)
Подставив (5.36) и (5.38) в (5.37), получим:
Второй этап – обратное z -преобразование G (z) с целью получения выражения для g (n). Обратное z -преобразование выполним по методу, описанному в Приложении 3:
где
Представим f (z) в виде f (z) = f 1(z)/ f 2(z) и найдем g (n) с помощью вычетов:
|
|
|
где z 1 и z 2 – корни знаменателя в f (z): z 1 = 1, z 2 = b.
Выполнив необходимые подстановки и преобразования, получим:
На рис. 5.16 приведен график переходной характеристики для случая, когда a = 1 и b = 0,8.
Рис. 5.16.
Переходная характеристика фильтра 1-го порядка для значений a = 1 и b = 0,8.
В подразделе 3.3 было показано, что устойчивая работа цифрового фильтра обеспечивается, если полюсы его передаточной функции расположены внутри окружности единичного радиуса.
Практический интерес представляет БИХ-фильтр 1-го порядка, полюс передаточной функции которого при b = 1 находится на окружности единичного радиуса. Говорят, что фильтр в этом случае находится на пороге устойчивости. Аналоговый фильтр в таком состоянии, т.е. при s п = 0, не может находиться длительное время - малейшие флуктуации напряжения, тока или заряда переведут его в режим возбуждения. Цифровой БИХ-фильтр 1-го порядка в таком состоянии абсолютно устойчив и приобретает качества идеального интегратора. Функционирование такого интегратора иллюстрируется графиками на рис. 5.17.
Рис. 5.17.
Последовательности на входе и выходе идеального цифрового интегратора.
ДИХ ЦФ при b = 1 представляет собой бесконечную последовательность единичных отсчетов: h (n) = bn = 1. Поэтому каждый входной отсчет x (n) образует на выходе ЦФ такую же последовательность, но своего уровня. Все последовательности от каждого отсчета суммируются, так что текущий выходной отсчет с номером n равен сумме всех входных отсчетов в интервале 0... n:
Цифровой интегратор рассмотренного типа находит применение, например, в составе так называемых цифровых синхронных накопителей, используемых для обработки радиолокационных сигналов.
