Дискретные импульсные характеристики КИХ-фильтров

7.2. Дискретные импульсные характеристики КИХ-фильтров

В предыдущем параграфе было показано, что вид АЧХ КИХ-фильтра с линейной фазой полностью определяется дискретной импульсной характеристикой фильтра. В данном параграфе рассматривается, как определить ДИХ при заданной АЧХ.

Расчет ДИХ КИХ-фильтров с линейной фазочастотной характеристикой базируется на представлении их АЧХ, как периодической функции частоты, рядом Фурье

(7.30)

где коэффициенты c (n) определяются так:

(7.31)

Умножим левую и правую части выражения (7.30) на фазовый множитель exp[- j j(Ф)]. Левая часть будет представлять при этом комплексный коэффициент передачи H (j F), выражение для которого примет вид:

(7.32)

С другой стороны, комплексный коэффициент передачи цифрового фильтра можно определить на основе z -преобразования его ДИХ

(7.33)

Здесь использовано общее выражение двухстороннего z -преобразования.

Сопоставление (7.32) и (7.33) дает возможность определить ДИХ через коэффициенты с (п)ряда Фурье:

(7.34)

Ограничим теперь ДИХ N отсчетами и потребуем, чтобы фазочастотная характеристика КИХ-фильтра являлась линейной функцией частоты, а, следовательно, показатель экспоненты определялся выражением:

j j(F) = – j aF, (7.35)

где a = (N – 1)/2,

тогда (7.34) запишется так:

(7.36)

Представим комплексную экспоненту в (7.36) в операторной форме, приняв z = exp(j F):

(7.37)

тогда множитель в (7.37) при целом значении a можно рассматривать, как оператор сдвига, показывающий, что ДИХ h (п) КИХ-фильтра с линейной ФЧХ определяется последовательностью коэффициентов с (n),смещенных в сторону положительных значений n на интервал a = (N – 1)/2, т.е.

Исходную формулу для расчета ДИХ получим подстановкой (7.31) в (7.36):

(7.38)

Интеграл в правой части (7.38) распадается на два, поскольку exp(jx) = cos x + j sin x. Один из этих двух интегралов равен нулю в зависимости от четности или нечетности функции H (F). Поэтому, преобразуя (7.38), расчетные формулы для определения h (n)необходимо представить в двух видах:

– для четной функции H (Ф):

(7.39)

– для нечетной функции H (Ф):

(7.40)

Поскольку ДИХ является последовательностью действительных величин, то множитель в (7.40) следует отнести к фазочастотной характеристике КИХ-фильтра, добавив к ней постоянное угловое смещение p/2. Таким образом, для КИХ-фильтров с нечетной АЧХ показатель экспоненты в фазовом множителе следует определять по формуле:

а при расчете h (n) по (7.40) множитель j не учитывать.

Рассмотрим два примера применения полученных формул.

Пример 7.1. Определить ДИХ КИХ-фильтра нижних частот с линейной ФЧХ, АЧХ которого задана в виде идеального прямоугольника (рис. 7.9) с частотой среза Ф_С= p/2. Порядок фильтра должен быть не выше 30.

Рис. 7.9. АЧХ для примера 7.1.

Для решения задачи выберем 1-й вариант ДИХ (N -четное, ДИХ - симметричная); следовательно, выбираем N = 30. Поскольку АЧХ рассчитываемого КИХ-фильтра является четной функцией, то, используя (7.39), получим:

(7.41)

График дискретной импульсной характеристики, рассчитанной по (7.41), показан на рис. 7.10.

Рис. 7.10. График ДИХ для примера 7.1.

Пример 7.2. Определить ДИХ КИХ-фильтра верхних частот с линейной ФЧХ. Заданная форма АЧХ – идеально прямоугольная с частотой среза Ф_С = p/4. Порядок фильтра – не выше 30. График требуемой АЧХ изображен на рис 7.11.

Рис. 7.11. АЧХ для примера 7.2.

В данном случае целесообразно выбрать 2-й вариант ДИХ (N - четное, ДИХ - антисимметричная), следовательно, выбираем N = 30. Для нечетной АЧХ расчет ДИХ следует проводить по формуле (7.40), в результате получим:

(7.42)