Линейный рост величин. Суммарная погрешность положения точки тела: скалярное представление

1.2.2.3 Линейный рост величин

Матрица положения E может быть представлена уравнением (18) в виде суммы шести дополнений, каждое из которых содержит только одну элементарную погрешность. Это позволяет представить вектор погрешности положения Δr₀ и вектор погрешности ориентации Δc₀ в виде суммы (6n + 6) дополнений следующим образом:

, (114)

, (115)

где δ_ij (i = 0, 1, …, n; j = 1, 2, …, 6) – элементарные погрешности, упорядоченные в лексикографической форме, причём:

δ_i1 = δ_ix; δ_i2 = δ_iy; δ_i3 = δ_iz; δ_i4 = δ_iθ; δ_i5 = δ_iψ; δ_i6 = δ_iϕ, (116)

b_ij и d_ij – векторные коэффициенты передачи для элементарной погрешности ввода δ_ij.

Помните, что коэффициенты переноса могут быть выражены либо в явной матричной форме, например (78), либо в обратной, например (112), матричной форме, и оба они эквивалентны:

, (117)

. (118)

1.2.3 Суммарная погрешность положения точки тела: скалярное представление

Погрешность в заданном направлении определяет скалярную суммарную погрешность. Она получается путем проецирования вектора суммарной погрешности на единичный вектор c₀, определяющий выбранное направление, и выводится через точечное произведение малых векторов Δr₀ и Δc₀, уравнения (91) и (105), и единичным вектором e₀:

, (119)

, (120)

где e₀ = [e_x0, e_y0, e_z0, 0]^T.

Эти определения могут быть представлены в скалярной форме:

, (121)

, (122)

где b_ij и d_ij определяются через скалярные произведения единичного вектора e₀ на вектор b_ij, уравнение (117), или d_ij, уравнение (118), соответственно,

b_ij = b_ij · e₀ и d_ij = d_ij· e₀. (123)

Обратите внимание, что скалярные величины Δ₀ и Δc₀ отличаются максимальным числом ненулевых членов: (6n + 6) и (3n + 3) соответственно. Влияние погрешности δ_ij на точность вывода Δ₀ и Δc₀ характеризуется значениями b_ij и d_ij.

Рисунок 4 – Точное (1) и неточное (2,3) направления при вращении цилиндра

Если вектор погрешности b_ij (или d_ij) расположен под прямым углом к оси линии, уравнение (123) дает b_ij = b_ij · e₀ = 0 и d_ij = b_ij · e₀ = 0. В этом случае вектор e₀ определяет неточное направление (в первом приближении), вдоль которого погрешность δ_ij не влияет на значение Δ₀ (или Δc₀). В противном случае вектор e₀ определяет точное направление.

В качестве простого примера рассмотрим вращение цилиндра (Рис. 4). Смещение рабочей точки на малое расстояние δ_x по оси X (стрелка 1) изменяет диаметр обрабатываемого цилиндра на ΔD = 2δ_x. Смещение на малом расстоянии δ_z по оси Z (стрелка 3) изменяет положение обработанной поверхности на Δl = δ_z. В противном случае единичные векторы оси X e₀ = (1, 0, 0)^T и оси Z e₀ = (0, 0, 1)^T определяют два точных направления.

Напротив, небольшое смещение δ_y вдоль оси Y (стрелка 2) не изменяет диаметр в первом приближении и, следовательно, определяет неточное направление.

Рисунок 5 – Формирование погрешности второго порядка обрабатываемого цилиндра при вертикальном перемещении наконечника инструмента

Фактически, как видно из треугольника OPQ (Рис. 5), радиус изменяется на величину второго порядка:

. (124)

Есть и другие способы получения скалярной суммарной погрешности в зависимости от представления вектора Δr₀. В частности, замена уравнения. (105) в уравнении (119) дает:

, (125)

n_x₀ = y₀e_z₀ – z₀e_y₀; n_y₀ = z₀e_x₀ – x₀e_z₀; n_z₀ = x₀e_y₀ – y₀e_x₀. (126)

где x₀, y₀ и z₀ – номинальные координаты точки тела относительно системы координат S₀;

n_x, n_y, n_z – моменты единичного вектора e₀ относительно осей S₀;

δ_x, δ_y, δ_z, δ_θ, δ_ψ и δ_ϕ определяются с помощью уравнения (107).

Уравнения (125) и (126) позволяют представить в следующей наиболее компактной форме через два вектора шестого порядка – скручивание δ и вектор координат Плюккера u₀:

Δ₀ =u₀^T δ. (127)