Стандартный вид суммарной погрешности

В общем случае матрица суммарной погрешности ⁰ΔA_n, уравнение (91), не имеет стандартной формы E, уравнение (11), поскольку ее верхний левый блок размерностью 3 × 3 не является антисимметричной матрицей. В качестве примера см. уравнения (101-103). Однако матрица суммарной погрешности может быть представлена в стандартной форме:

                                              [Δr₀ Δe₀] = E [r₀ e₀],                                  (105)

                                         ,                             (106)

                                     ,                             (107)

где δ_x, δ_y, δ_z – линейные отклонения начала отсчета S₀;

δ_θ, δ_ψ и δ_ϕ – малые повороты (угловые отклонения) вокруг системы отсчета S₀.

Фактически, поскольку матрица манипуляции FSF ⁰A_n не является сингулярной, можно инвертировать FSF и выразить векторы r_n и c_n через r₀ и c₀:

                                              [r_n c_n] = (⁰A_n)⁻¹ [r₀ c₀].                                (108)

Матрица ⁰A_n может быть представлена как произведение двух матриц ⁰A_n = ⁰A_i ⁱA_n, где 0 ≤ i ≤ n, а ⁰A_i и ⁱA_n определены уравнениями (80) и (81). Поскольку и ⁰A_i, и ⁱA_n не являются сингулярными, обратная матрица (⁰A_n)^–1 может быть представлена как (⁰A_n)^–1 = (ⁱA_n)^–1 (⁰A_i)^–1. Следовательно:

         ⁱA_n [r_n c_n] = ⁱA_n (⁰A_n)^–1 [r₀ c₀] = ⁱA_n (ⁱA_n)^–1 (⁰A_i)^–1 [r₀ c₀] = (⁰A_i)^–1 [r₀ c₀] (109)

Замена уравнения (109) в уравнении (93) дает:

                          .                     (110)

Добавляемая матрица с номером i в правой части уравнения (110) обозначается как:

                                                    E_i0 = ⁰A_i E_i (⁰A_i)^-1 .                                      (111)

Матрицы погрешностей E_i0 и E_i связаны с i-м звеном и связаны преобразованием подобия – предварительным умножением матрицы E_i на матрицу движения ⁰A_i и пост-умножением на ее обратное. Матрица E_i относится к системе координат S_i, а матрица E_i0 относится к системе координат S₀, связанной с целевым элементом FSS. Сумма n матриц, соединяющих через уравнение (105) векторы ошибок Δr₀ и Δe₀ с их векторами номинального положения r₀ и e₀ представляют собой матрицу суммарной погрешности и обозначаются как E, уравнение (107). Матрица суммарной погрешности E получается в результате двух операций, сохраняющих стандартную форму матрицы погрешностей: преобразование подобия, уравнение (111), и их суммирование, уравнение (106). Согласно уравнениям (22) и (24), матрица E имеет стандартный вид матрицы погрешностей, уравнение (11).

Помните, что шесть отклонений δ_x, δ_y, δ_z, δ_θ, δ_ψ и δ_ϕ в правой части уравнения (107) зависят от (6n + 6) элементарных ошибок δ_xi, δ_yi, δ_zi, δ_θi, δ_ψi и δ_ϕi, входящих в матрицы E_i (i = 1, 2, …, n). В дальнейшем также будет использоватся обозначение (⁰A_i)^–1 = ⁱA₀. В этих условиях уравнение (106) может быть переписано в более компактной форме:

                                               .                                 (112)

Погрешность положения и ориентации рассчитываются с помощью уравнения (105):

        .  (113)