Диагностические процедуры

Уравнения (131-138) описывают случай, когда существует явное выражение для оцениваемой случайной величины. В общем случае уравнения суммарной погрешности имеют вид:

                                   ,                          (139)

где δ_qi (i = 1, 2, …, m) - элементарная погрешность параметра q_i;

a_i – известный коэффициент передачи (или функции от u, v), связанный с δ_qi.

Требуется оценить параметры δ_q1, δ_q2,..., δ_qm, если приведены результаты n-кратных измерений величины Δ_i (u, v) не менее чем в m различных точках:

                              .                     (140)

Аналогичная задача рассматривалась для частного случая m = 6, уравнения (57) относительно шести неизвестных δ_x, δ_y, δ_z, δ_θ, δ_ψ и δ_ϕ. Набор коэффициентов a_ij (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m), входящих в совместные уравнения (140) образует структурную матрицу размерностью n × m [4], представляющую матрицу Якоби системы (140):

                                          .                              (141)

Матрица Якоби Js связывает вектор результатов измерений Δ размером n × 1 с вектором параметров δ размером m × 1:

                                     Δ = [Δ₁, Δ₂, …, Δ_n ]^T  ,                               (142)

                                      δ = [δ_q1, δ_q2,…,δ_qn]^T,                                 (143)

Как и ранее, процедура решения рассматривается при условии, что n> m, Δ ≠ 0 и матрица J_s имеет полный ранг:

                                                    rank [J_s] = m.                                        (144)

В этих условиях решение совместных уравнений (140) может быть получено в виде наилучшей оценки  (i = 1, 2, …, m) неизвестных δ_qi с использованием метода наименьших средних квадратов (LMS):

                                                 =B^-1 J_s ^T D^-1 ∆,                                       (145)

                                   ,                           (146)

где  – вектор оцениваемых параметров;

D – невырожденная ковариантная матрица размерностью n × n множества результатов n измерений Δ_i (i = 1, 2,..., n), содержащая дисперсии σ_i значений δ_qi; и коэффициенты корреляции p_ij (i, j = 1, 2,..., m) значений δ_qi и δ_qj; B – матрица размерностью m × n, составленная методом LMS:

                                                   B = J_s ^TD^–1 J_s.                                               (147)

Широкий спектр актуальных проблем точности может быть решен в предположении, что значения δ_q1, δ_q2, …, δ_qm некоррелированы и известны с одинаковой точностью (например, они получены из аналогичных измерений). В этом случае уравнение (145) упрощается и принимает вид:

                                               = (J_s ^T J_s)^-1 J_s ^T ∆.                                      (148)

Основное применение этого уравнения – диагностика точности станка и основанная на ней компенсация погрешности с использованием измерений выходной точности станков, например, компенсация геометрических и кинематических погрешностей станка с использованием результатов измерений обрабатываемых деталей.