Выражение скалярного произведения в координатах

Даны векторы, заданные в координатах , . Используя свойства 5, 6 скалярного произведения, составим таблицу (табл.1) значений скалярного произведения единичных векторов .

Таблица 1

Отсюда имеем,

Итак, получена формула, выражающая скалярное произведение векторов в координатах

. (1)

Пример 1.2 Дано: .

Найти: 1) ;

2) двумя способами.

Решение. 1) Используя формулу (1)получим

.

2) первый способ: раскроем скобки, пользуясь свойствами скалярного произведения,

.

Так как , то получим

3) второй способ: найдем координаты сомножителей

Тогда

.

Геометрические и физические приложения скалярного произведения

1. Модуль вектора . В силу свойства 5 скалярного произведения

.

2. Угол между векторами и . Из определения скалярного произведения

получим формулу , (2)
которая в координатах имеет вид

3. Условие перпендикулярности векторов и .
Из свойства 6 скалярного произведения получим условие перпендикулярности векторов

.

4. Расстояние между точками и .
Так как и , то

.

Физическая задача.Под действием постоянной силы материальная точка перемещается прямолинейно из в (рис.1). Из физики известно, что работу совершают только составляющая силы , направленная по линии перемещения.

Работа равна произведению длины составляющей на длину перемещения

.

Пример 1.3. Даны вершины треугольника . Найти угол при вершине А.

Решение. Составим два вектораи с общим началом-точкой А. Получим

,

.

Найдем косинус угла А, как косинус угла между векторами и

Следовательно,

Пример 1.4. Найти работу силы , затраченную на прямолинейное перемещение материальной точки из в .

Решение. Найдем координаты вектора

.

Найдем работу А, как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения , получим

(Дж).