Задачи на взаимное расположение прямой на плоскости

2 3 4 5 6 7 8

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Найти угол

между прямыми

(рис.15). Решение. При вычислении мы можем найти острый угол

или дополнительный к нему тупой угол

. Для нахождения угла

получим несколько формул, в зависимости от данных относительно уравнения прямой.

а) известны угловые коэффициенты , прямых . Так как , то , а значит , следовательно

б) Известны направляющие векторы , прямых . Тогда , а значит

в) Известны нормальные векторы ,прямых . Тогда , а значит

Задача 2. Найти условие параллельности прямых .
Решение. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда:
а) , т.е. и ;
б) , т.е. ;
в) , т.е. .

Задача 3. Найти условие перпендикулярности прямых .
Решение. Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда:
а) , т.е. - не существует ;
б) ;
в) .

Задача 4. Найти точку пересечения прямых .
Решение. Из уравнений прямых составим систему , решим ее. Решение системы - точка пересечения прямых.

Пример 4.4. Найти угол между прямыми , .

Решение. Угол между прямыми равен углу между нормальными векторами к этим прямым:

, .

Следовательно,

Знак определяет величину угла, если , то значит найден тупой угол . Острый угол соответствует положительному значению косинуса.

Следовательно,

- острый угол,

- тупой угол.

Пример 4.5. Найти уравнения прямых, проходящих через точку и:

1) параллельно прямой ;

2) перпендикулярно прямой ;

3) под углом к .

Решение. Чтобы найти уравнения прямых, надо воспользоваться условиями параллельности и перпендикулярности прямых:

1) найдем нормальный вектор данной прямой

Так как искомая прямая параллельна данной прямой, то вектор является нормальным для искомой прямой. Используя уравнение прямой с нормальным вектором, получим