2014-02-13
520
Рассмотрим несколько задач.
Задача 1. Найти угол  между прямыми  (рис.15). Решение. При вычислении мы можем найти острый угол или дополнительный к нему тупой угол  . Для нахождения угла получим несколько формул, в зависимости от данных относительно уравнения прямой.
| 
|
а) известны угловые коэффициенты 
, 
прямых . Так как 
, то 
, а значит 
, следовательно
.
б) Известны направляющие векторы 
, 
прямых . Тогда 
, а значит
.
в) Известны нормальные векторы 
,
прямых . Тогда 
, а значит
.
Задача 2. Найти условие параллельности прямых .
Решение. Прямые параллельны 
тогда и только тогда, когда:
а) 
, т.е. 
и 
;
б) 
, т.е. 
;
в) 
, т.е. 
.
Задача 3. Найти условие перпендикулярности прямых .
Решение. Прямые перпендикулярны 
тогда и только тогда, когда:
а) 
, т.е. 
- не существует 
;
б) 
;
в) 
.
Задача 4. Найти точку пересечения прямых 
.
Решение. Из уравнений прямых 
составим систему 
, решим ее. Решение системы 
- точка пересечения прямых.
Пример 4.4. Найти угол между прямыми 
, 
.
Решение. Угол 
между прямыми равен углу между нормальными векторами к этим прямым:
, 
.
Следовательно,
.
Знак 
определяет величину угла, если 
, то значит найден тупой угол . Острый угол соответствует положительному значению косинуса.
Следовательно,
- острый угол,
- тупой угол.
Пример 4.5. Найти уравнения прямых, проходящих через точку 
и:
1) параллельно прямой 
;
2) перпендикулярно прямой 
;
3) под углом 
к 
.
Решение. Чтобы найти уравнения прямых, надо воспользоваться условиями параллельности и перпендикулярности прямых:
1) найдем нормальный вектор данной прямой 
Так как искомая прямая параллельна данной прямой, то вектор 
является нормальным для искомой прямой. Используя уравнение прямой с нормальным вектором, получим
;
2) найдем угловой коэффициент данной прямой 
Из условия перпендикулярности прямых 
находим угловой коэффициент искомой прямой
.
Найдем уравнение искомой прямой
;
3) найдем угловой коэффициент искомой прямой
.
Следовательно,
- уравнение искомой прямой.
