Определение деформаций и перемещений

Опыты показывают, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются, при сжатии — наоборот (рис. 2, б).

Для многих материалов при нагружении до определенных пределов опыты показывают следующую зависимость между относительным удлинением стержня ε и напряжениемσ:

ε=σ/E (3)

где ε= Δ l/l=(l₁– l)/l – относительное удлинение стержня; Δ l — абсолютное удлинение стержня; l — длина образца до деформации; l ₁—то же, после деформации.

Эта зависимость носит название закона Гука и формулируется следующим образом: линейные деформации прямо пропорциональны нормальным напряжениям.

В формуле (3) E — коэффициент, зависящий от материала и называемый модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода. Он характеризует жесткость материала, т. е. его способность сопротивляться деформированию.

Поскольку ε — безразмерная величина, то из формулы (3) видно, что единица Е та же, что и σ, т. е. паскаль (Па).

В табл. 1 даны средние значения Е для некоторых материалов.

Таблица 1

Материал	Е, МПа	Материал	Е, МПа
Сталь	2·10⁵ – 2,2·10⁵	Алюминий	0,675·10⁵
Медь	1·10⁵	Чугун	0,75·10⁵ –1,6·10⁵
Дерево	1·10⁴	Стеклопластики	0,18·10⁵ – 0,40·10⁵

Для других материалов значение Е можно найти в справочниках.

Имея в виду, что для стержня постоянного сечения ε=Δ l / l, а σ=N/A,из формулы (З) можно получить формулу для определения полного (абсолютного) удлинения (укорочения) стержня

Δ l = Nl/(ЕА). (4)

Между продольной ε и поперечной ε' деформациями существует установленная экспериментально зависимость

ε'= –ε.(5)

Здесь – коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона), характеризующий способность материала к поперечным деформациям. При пользовании формулой (5) удлинение считается положительным, укорочение – отрицательным. Значение для всех материалов колеблется в пределах 0≤≤ 0,5, а для большинства материалов – от 0,25 до 0.35 (табл.2).

Для стали при упругих деформациях можно принимать ≈0,3. Зная ε', можно определить полное поперечное сужение или расширение стержня ∆b:

ε'= ∆b/b, а ∆b=b–b₁(6)

где b — первоначальный поперечный размер стержня; b₁ — поперечный размер стержня после деформации.

Таблица 2

Материал		Материал
Сталь	0,25 – 0,33	Свинец	0,45
Медь	0,31 – 0,34	Латунь	0,32 – 0,42
Бронза	0,32 – 0,35	Алюминий	0,32 – 0,36
Чугун	0,23 – 0,27	Цинк	0,21
Стекло	0,25	Камень	0,16 – 0,34
Бетон	0,08 – 0,18	Каучук	0,47
Пробка	0,00	Фанера	0,07
Целлулоид	0,39

В стержнях переменного сечения (рис. 3) напряжения в поперечных сечениях можно считать распределенными равномерно (если угол конусности α≤ 12°) и определять их по той же формуле (2), что и для стержня постоянного сечения.

Рисунок 3

Для определения деформаций стержня переменного сечения, в поперечных сечениях которого действует продольная сила N, найдем сначала удлинение ∆(dz) элемента длиной dz, которое является дифференциалом полного удлинения ∆ l. Согласно закону Гука, имеем

∆(dz)= d (∆ l)= Ndz/(ЕА). (7)

Полное удлинение стержня получим, интегрируя выражение (7) в пределах от z=0 до z= l:

(8)

Если N и Е — величины постоянные,то

. (9)

Чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо знать закон изменения А в зависимости от z.

Для ступенчатых стержней (рис.4) интегрирование заменяется суммированием и полное изменение длины бруса определяется как алгебраическая сумма деформаций его отдельных частей, в пределах которых Е, N и А постоянны:

Например, для стержня согласнорис. 4 имеем

∆ l = ∆ l ₁+ ∆ l ₂=N₁ l ₁/(E₁A₁)+N₂ l ₂/(E₁А₂),

где N₁=N₂=F.

Рисунок 4

Определим теперь удлинение стержня постоянного сечения под действием силы тяжести, представляющей собой нагрузку, равномерно распределенную вдоль стержня (рис. 5, а). Удельный вес материала бруса обозначим γ. Рассмотрим деформацию элемента dz, выделенного на расстоянии z от нижнего конца. Он растягивается силой γAz, равной силе тяжести части стержня, расположенной ниже сечения т — п. Удлинение элемента равно

∆(dz)=d ( ∆ l)= γАzdz/(ЕА)= γ zdz/Е.(11)

Интегрируя это выражениев пределах отz=0 до z = l,получаем удлинение бруса

. (12)

Это выражение можно представить в другом виде, если учесть, что сила тяжести бруса равна G = γ Al, т. е. γ l = G/l. Тогда из (12) получим

. (13)

Следовательно, удлинение бруса постоянного сечения от собственной силы тяжести в два раза меньше удлинения от действия силы, равной силе тяжести бруса и приложенной к его концу.

Перемещение δ_z; сечения т — п будет равно удлинению части стержня длиной l–z. По формуле (12)имеем

На рис.5, б представлена эпюра N. Знак-плюс означает растяжение. Эпюра перемещений представленана рис.5, в.Стрелка на эпюре показывает, что все сечения стержня перемещаются вниз.