Метод припасовывания. Линейная часть имеет амплитудно-фазовую характеристику

Рис. 4.59

Рис. 4.58.

Рис. 4.57.

Рис. 4.56.

Рис. 4.55.

Линейная часть имеет амплитудно-фазовую характеристику:

(4.60)

На основе данной характеристики строится модифицированная амплитудно-фазовая характеристика:

, (4.61)

где - коэффициент масштабирования (обычно берется равным единице).

Тогда критерий Попова формулируется следующим образом:

Для абсолютной устойчивости нелинейных систем одного класса, характеризующихся прямой с наклоном К_Н, достаточно чтобы модифицированная АФХ не охватывала точку (-1/К_н;j0) и через эту точку можно было бы провести прямую так, чтобы модифицированная амплитудно-фазовая характеристика не пересекала эту кривую и осталась справа.

Нетрудно заметить, что в соответствии с критерием Попова система (Рис. 4. 56) абсолютно устойчива, а системы (Рис. 4.57, 4.58) не являются абсолютно устойчивыми.

Критерий Попова может быть использован и при обратной задаче - выборе нелинейных элементов в нелинейной системе. В данном случае выбор нелинейного элемента не должен влиять на устойчивость системы.

Данная задача решается следующим образом: строится модифицированная амплитудно-фазовая характеристика и проводится прямая наиболее близкая к этой характеристике. Точка пересечения этой прямой с осью абсцисс определяет коэффициент наклона К_н, а значит и класс нелинейных характеристик.

ПРИМЕР

Пусть дана нелинейная система. Линейная часть представлена передаточной функцией с параметрами . Нелинейный элемент - двухпозиционное реле с параметрами . Определить является ли данная система абсолютно устойчивой.

Определим коэффициент наклона

Построив модифицированную амплитудно-фазовую характеристику, нетрудно, что МАФХ пересекает ось абсцисс в точке (-0,11;j0) и что через точку (-0,125;j0) можно провести прямую, не пересекающую модифицированную амплитудно-фазовую характеристику (Рис. 4.59).

Определим допустимое значение параметра , при котором система абсолютно устойчива.

МАФХ пересекает ось абсцисс в точке (-0,11;j0). Следовательно, критическое значение параметра определится следующим образом:

То есть при параметре система не будет абсолютна устойчива.

Этот метод применяется для нелинейных систем управления, нелинейные элементы которых имеют кусочно-линейную или кусочно постоянную статическую характеристику.

Отрезки кусочно-линейной характеристики определяют количество участков, которые и участвуют в процедуре припасовывания. Метод припасовывания является точным методом решения конкретного уравнения, но трудоемок в вычислениях, которая возрастает с увеличением порядка линейной части и сложностью нелинейной характеристики.

Алгоритм метода припасовывания:

1. Составляются уравнения, описывающие нелинейную систему на каждом из участков нелинейной характеристики;

2. Для каждого из участков решаются в общем виде линейные уравнения;

3. По заданным начальным условиям и входному воздействию, определяется участок, с которого начинается переходный процесс. С учетом данных условий вычисляются произвольные постоянные, входящие в общее решение уравнения;

4. Решается уравнение для граничного значения данного участка линейной характеристики;

5. Повторяются п.3, 4.