Расчет горного давления в горизонтальных выработках

Массив горных пород (как было сказано выше) – это область в верхней части земной коры, в которой осуществляется строительство подземного сооружения или системы горных выработок. Механические модели и режим работы крепи, отражающие наиболее существенные свойства реального массива пород определенного типа, приведены в табл. 22.

Таблица 22

Тип модели	Название модели	Существенные признаки	Главные влияющие факторы	Режим работы крепи
Ia	Упругая	Крепь в линейно деформируемом массиве	Начальные напряжения в ненарушенном массиве (глубина)	Взаимовли-яющая деформация
Iб	Вязкоупругая	То же, но деформационные характеристики пород (и крепи) выражаются временными операторами	То же	То же
II	Жестко-пластическая	Неупругие (пластические) деформации пород вокруг выработки вызываются их весом в пределах некоторой области (например, сводообразования)	Пролет выработки	Заданная нагрузка
IIIa	Упруго-пластическая	Нелинейно деформируемый массив. Образование вокруг выработки зоны пластических деформаций, протекающих без разрушения	Радиус зоны пластических деформаций, смещение контура сечения выработки	Взаимовлияющая деформация
IIIб	Упруго-пластическая неоднородная	Образование вокруг выработки зоны разрушения пород	То же и радиус зоны разрушения	То же
IIIв	Вязкоупруго-пластическая	Развитие упругих и пластических деформаций во времени	То же	То же
IV	Вязкая (текучая), вязкопластическая	Деформации массива пород развиваются подобно вязкой жидкости	Скорость смещения пород, глубина	Взаимовлияющая скорость деформации. Заданная нагрузка

Для моделей Iа и Iб нагрузка на крепь (давление) зависит от начального поля напряжений, т.е. прямо пропорциональна глубине. Для модели II давление изменяется пропорционально пролету выработки. Крепь работает в режиме заданной нагрузки. Для модели IV характерна во многих случаях уже не величина, а скорость деформирования (течения пород).

Для модели II нагрузка не зависит от жесткости крепи, в моделях I, III – зависит от степени податливости крепи, а в модели IV крепь работает в условиях взаимовлияющей скорости деформации.

Для условий проведения подземных горно-разведочных выработок наиболее приемлема жесткопластическая модель, так как выработки проходятся на небольшой глубине. Эта модель рассматривает массив пород, способный к пластическим (необратимым) деформациям, величина которых существенно превышает упругие деформации, поэтому последние во внимание не принимаются.

Для жесткопластической среды выделяются следующие основные гипотезы горного давления – гипотезы сил и гипотезы деформаций.

К гипотезам сил относятся:

1) гипотеза учета полной массы столба породы Р _в = ρ Н;

2) гипотеза учета неполной массы столба породы (опускающийся столб породы) Р _в = Фρ Н;

3) гипотеза балок (плит)

Р _в = 0 при L _уст ≥2 а; P _в = ρ b_с при L _уст < 2 a;

4) гипотеза свода обрушения Р _в= Фρа,

где Р _в – интенсивность вертикальной нагрузки на крепь, Н/м; ρ – плотность породы, кг/м³; Н – глубина заложения выработки, м; а – полупролет или радиус выработки, м; b _c − высота зоны разрушения слоев пород до устойчивого слоя, м; Ф – коэффициент, характеризующий долю нагрузки от максимальной.

Первую гипотезу (рис. 17, а) применяют при неустойчивых породах и небольшой глубине заложения выработки (Н ≤ 2 а), когда над ней не формируется устойчивая плита или свод естественного равновесия.

Вторую гипотезу (рис. 17, б) применяют в тех же случаях, что и первую, но при глубине H ≥ (1÷2)2 a.

Третья гипотеза предназначена для слоистого массива пород и построена на отыскании предельного пролета L _уcт (рис. 17, в, г), при котором слой породы (балка или плита) мощностью m способен сохранять устойчивость. Если L _уcт < 2 а, то над выработкой может образоваться вывал высотой b, масса которого и определяет вертикальную нагрузку на крепь. Если L _пр ≥ 2 а, то кровля выработки устойчива и регулярного давления на крепь выработки не должно возникать.

Четвертая гипотеза свода предназначена для сыпучих или трещиноватых с небольшим сцеплением пород, которые способны образовывать над выработкой свод естественного равновесия, воспринимающий на себя давление вышележащей толщи (рис. 17, д, е).

При заложении выработок на небольшой глубине от поверхности столб пород АБСЕ (см. рис. 17, б) под действием собственной массы стремится опуститься в выработку, чему препятствуют силы трения между столбом породы и призмами сползания АВ₁В и СС₁Е. Горное давление на контакте массив – горная выработка

P = Q − 2 F _тp = 2 a·H·p − 2 D tgφ,

где Q – масса вышележащих пород, заключенных в призме единичной площади; D – реактивная боковая сила, препятствующая скольжению; φ – угол внутреннего трения.

Для определения бокового давления мысленно рассечем массив вертикальной плоскостью АБ до глубины Н (рис. 18). Отбросим левую часть массива и заменим действие отброшенной части силой D. Рассмотрим условие равновесия призмы ABB₁ на длине, равной единице.

Призма имеет склонность к скольжению под углом θ. Активной силой, вызывающей скольжение, будет масса породы, заключенная в призме Q. Реактивными силами, препятствующими скольжению, будут сила D (реакция отброшенной части), сила трения Т и нормальная реакция N. Из многоугольника сил следует:

D = Q tg(θ − φ).

Масса пород призмы Q = ρ· V _п, где ρ – плотность пород; V _п – объем призмы единичной площади. Объем призмы V _п = [ H ² tg (90° − θ]/2. Следовательно, Q = = Н ² tg (90° − θ) ρ/2.

Подставляя значение веса призмы в формулу бокового давления, получаем

D = [ H ²tg(90 °− θ)ρtg(θ − φ)]/2.

θ

θ

Рис. 17. Схемы к расчету горного давления по гипотезам сил

Исследуем функцию на максимум по θ.

Получим

Тогда давление на подпорную стенку

Подставив значения Q и D в формулу горного давления, получим

откуда

При глубине заложения выработки менее Н_пр необходимо пользоваться гипотезой опускающегося столба породы, при глубине более Н_пр – гипотезами балок, свода обрушения или другими.

Предельная глубина канавы, когда возможно сохранение вертикальности ее стенок, определяется по формуле

Рис. 18. Схема определения давления на подпорную стенку:

а – схема давления; б – многоугольник сил; в – поверхности скольжения;

г – схема к расчету коэффициента устойчивости

Сцепление k можно определить из зависимости

Если проектная глубина канавы (траншеи) больше Н _пр, то канава должна крепиться.

Устойчивость наклонных откосов (карьеры, разрезы) можно определить по методу К. Терцаги. Откос делится серией цилиндрических поверхностей (рис. 18, в). Каждое из очерченных тел скольжения разделяется вертикальными плоскостями на части шириной b (рис. 18, г).

Вес каждой части, выраженный через нормальную и касательную составляющие:

N = Q cos α; T = Q sin α.

Момент сил, сдвигающих тело скольжения:

где R – радиус поверхности скольжения.

Момент сил, препятствующих сползанию тела скольжения:

где l _ск – длина дуги поверхности скольжения.

Для каждого из тел скольжения коэффициент устойчивости

K _у = М _пр/ М _сд.

Подвижка произойдет, если К_y ≤ 1,5. Поэтому для предотвращения подвижки необходимо выполаживать откос, чтобы довести значение К _y до 1,5.

Гипотеза образования над выработкой устойчивого ''свода'', ограничивающего область деформирующихся при проведении выработки горных пород, изложена в работах М.М. Протодьяконова. За расчетную величину давления на крепь предлагалось принимать массу пород в пределах свода равновесия. Задача решается применительно к сыпучей среде, обладающей внутренним трением, но без сцепления.

Рассмотрим на глубине Н выработку шириной 2 а (рис. 19). Над выработкой согласно гипотезе образуется свод. Задача сводится к определению формы кривой свода и высоты свода. Для решения первой части задачи рассмотрим условие равновесия дуги ОМ.

Рассечем свод на две части. Отброшенные части свода ОВ и AM заменяем действующими в связях силами Т и R. Поскольку часть свода ОМ находится в равновесии, сумма моментов всех сил относительно точки М равна нулю:

откуда

Равенство является уравнением параболы. Так как точка М взята на контуре произвольно, то свод естественного равновесия имеет параболическое очертание.

Для решения второй части задачи рассматривается условие равновесия в пяте свода – точке А. Сила N создает давление на частицы породы и вызывает силу трения, а сила Q стремится сдвинуть опору с места. Для условий равновесия сумма проекций всех сил на любую из осей равна нулю. Спроектируем силу на оси х и у:

Q − T = 0; N − P·a = 0.

Следовательно, сила трения, возникающая в опоре А:

N·f ₀ = P·a f _0,

где f ₀ − коэффициент внутреннего трения.

При сдвигающей силе Q ≤ P · a f ₀свод переходит в состояние предельного равновесия. Для того чтобы гарантировать его устойчивость, требуется дополнительная величина сопротивления сдвигу.

Q

Рис. 19. Схема определения формы свода обрушения по М.М. Протодьяконову:

а – свод естественного равновесия по М.М. Протодьяконову; б – схема эксперимента

на модели с мокрым песком, в – схема определения формы свода обрушения

М.М. Протодьяконов ввел величину горизонтального сдвигающего усилия τ. Тогда условие равновесия Q + τ b = Р а F _0, откуда

Q = P·a·F ₀ − τ b.

Поскольку Q = Т, уравнение параболы в точке А можно записать в виде

Pa ²/2 = Qb.

Подставив вместо Q его значение, получим

Pa ²/2 = (Paf ₀ − τ b) b.

По М.М. Протодьяконову, запас устойчивости будет наибольшим, если τ будет иметь максимальное значение. Поэтому, решая уравнения относительно τ и исследуя его на максимум (взяв производную d τ/ db), получаем

Р а ² = Р a b f ₀; b = a / f ₀.

Таким образом, высота свода естественного равновесия равна частному от деления полупролета выработки на коэффициент внутреннего трения. Это основной вывод из теории М. М. Протодьяконова.

Окончательно масса пород, оказывающих давление на крепь на протяжении 1 м выработки, имеет вид

Р = 2/3(2 a b ρ 1) = 4/3(а ² ρ)/ f ₀.

Давление на 1 м² получаем, поделив это выражение на пролет выработки 2 а:

Р = 2/3(р a / f ₀).

Этот метод расчета горного давления М.М. Протодьяконов распространил и на связные породы, заменив коэффициент трения f ₀ коэффициентом крепости f. А. Како исследовал модель, когда горизонтальная выработка находится в зоне нарушенных пород, ограниченная поверхностью радиуса R _с. За пределами зоны массив рассматривается как абсолютно жесткий.

Окончательно полученное выражение давления на крепь имеет вид

Для сыпучей среды, при k = 0, a R _c→∞, давление на крепь стремится к постоянной величине

где R – радиус свода выработки; k – сцепление, Па; а – характеристика ползучести; φ – угол внутреннего трения, град; R _c – радиус границы зоны нарушения.

В соответствии с выбранной концепцией давление на крепь зависит в первую очередь от свойств (крепости, силы тяжести, массы) пород и пролета выработки и практически не зависит от глубины расположения выработки.

Давление горных пород на крепь выработки со стороны боков определяется по методике, предложенной П.М. Цимбаревичем, исходя из предпосылки образования в стенках выработки так называемых призм сползания. При наличии неустойчивых пород в боках выработки ее стенки разрушаются, опоры перемещаются вглубь толщи горных пород, что увеличивает как размеры свода обрушения, так и давление со стороны боков и кровли выработки.

Рис. 20. Расчетная схема:

а – горного давления на крепь выработки в мягких породах, б – на крепь ствола

по П.М. Цимбаревичу

Величину бокового давления П.М. Цимбаревич предложил определять как активное давление на подпорную стенку от сползающих призм породы m (рис. 20).

Согласно этой предпосылке крепь в боках выработки работает как подпорная стенка. Давление на подпорную стенку у кровли

и на уровне почвы выработки

Эпюра давления, действующего на боковую стенку выработки, представляет собой трапецию, и величина горизонтального давления, действующая на единицу длины выработки, численно равна площади трапеции

Подставив значения d ₁ и d ₂,получим

Полупролет свода равновесия

высота свода

где φ = arctg f ₀ − угол внутреннего трения.

Давление со стороны кровли в случае образования призм сползания определяется формулой

Таблица 23

Расчетные параметры	Форма сечения выработки и запасы прочности
n к ≤ 1	n б>4	1< n к<4	n б>4
Трапециевидная
Высота свода обрушения	b=a /tgφ	b′=a /(nk tgφ)
Интенсивность давления (максимального)	g н =b ρ	g′ н =b′ ρ
Нагрузка на верхняк крепежной рамы	Q= 4/3	Q′ = 4/3
Прямоугольно-сводчатая
Высота свода обрушения		− h 0
Интенсивность нормативного давления
Нормативная нагрузка (на раму)

Примечание. n_к = R _p /σ_min = k _с σ_pζ / (k ₂ λ ρH); n _б = R _сж /σ _max = k _с σ_сж ζ / (k ₁ ρH).

В СНиП II-94–80 приведен расчетный метод для режима заданной нагрузки для следующих условий (табл. 23, 24):

– кровля и бока устойчивы (n ≥ 4);

– кровля и бока относительно устойчивы (1 < n < 4);

– кровля и бока неустойчивы (n ≤ 1), где n – запас прочности (устойчивости) в кровле (почве) (n _к), стенках (n _с). Расчеты даны для выработок трапециевидной и прямоугольно-сводчатой формы.

Высота искусственного свода по проекту приводится в табл. 25.

Таблица 24

Расчетные параметры	n к≤1; n б≤1	1< n к<4; n б≤ 1
Трапециевидная форма выработки и запасы прочности
Высота свода обрушения		b 2 = b 1/ n к
Интенсивность давления со стороны кровли
Нагрузка на верхняк рамы	Q 1 = 2 ad 1 L	Q 2 = 2 ad 2 L
Интенсивность бокового давления у кровли	dк= d 1λ2	d´ к = d 1λ2
Интенсивность бокового давления у почвы	D п = (b 1+ h) ρλ 2	d´ п = (b 2+ h) ρλ 2
Боковое давление	D 1 = 0,5(d к+ d п) h	D´ 1 = 0,5(d к ′ + d´ п) h
Прямоугольно-сводчатая форма выработки и запасы прочности
Высота свода обрушения
Высота свода равновесия	b 1 =b к+ h 0	b´ 1 =b´ к+ h 0
Интенсивность давления со стороны кровли
Нагрузка на верхняк рамы	Q = 2ad1' L	Q' = 2ad´2L
Интенсивность бокового давления на высоте вертикальной стенки	d c = b 1ρλ2	d´ c= b´ 1 ρλ 2
Интенсивность бокового давления у почвы	d п = (b 1+ h 1)ρλ2	d´ п = (b´ 1+ h 1) ρ λ2
Боковое давление	D 1 = 0,5(d c+ d п) h 1	D´ 1 = 0,5(d´ c+ d´ п) h 1

Примечание: α − угол наклона стойки крепежной рамы к почве выработки.

Таблица 25

Форма выработки	Высота свода h 0 в долях от ширины выработки (2 а)	Коэффициенты концентрации напряжений	Примечание
К 1	К 2
Прямоугольно-сводчатая	1/4 1/3 1/2		0,4 0,3 0,25	Для пород с f >12 Для пород с f <12
Параболическая с прямыми стенками	-		0,23	Уравнение очертания свода у = х 2/0,5 b tg φ
Трапециевидная	-		1,0	Для пород φ =39° в долях от ширины кровли