Простейшие задачи на векторы в декартовом базисе

Задача. Найти координаты вектора, если A(x₁;y₁), В(х₂у₂) – точки, координаты которых известны.

= - = (x + у ) - (x + y ) =

= (x -x ) +(y -y ) .

Таким образом, для получения координат вектора надо из координат конца вычесть соответствующие координаты начала. Это правило справедливо и для векторов в системе координат xoyz.

Задача. Найти длину вектора, если координаты х и у известны.

Решение. Так как вектор можно отождествить с вектором – диагональю прямоугольника, стороны которого совпадают с векторами – сторонами и, то

, или .

Следовательно,

.

Таким образом, длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. Этот вывод верен для вектора т. е. .

Задача. Найти координаты точки M(x;y), делящей отрезок M₁(x₁;y₁)M₂(x₂;y₂) в отношении , где знак «+» выбирается, если М лежит на отрезке М₁М₂ и знак "- " выбирается, если М лежит на продолжении отрезка М₁М₂.