Понятие предела числовой функции

ГЛАВА 2. Предел и непрерывность функции одной переменной

Контрольные вопросы

1. Какова структура системы управления сложными объектами?

2. Нарисуйте схемы системы управления летательным аппаратом.

3. Какие звенья (подсистемы) содержит регулятор?

4. Перечислите основные задачи системы управления летательным аппаратом.

5. Дайте определения понятий “стабилизация”, “навигация”, “наведение”.

6. Перечислите задачи, при решении которых необходимо использовать модели звеньев системы и объекта управления.

7. По каким критериям классифицируют модели звеньев, объектов управления и систем?

8. Какие звенья системы управления летательным аппаратом соответствуют понятию “авионика”?

9. Перечислите задачи классической динамики и современной теории управления.

10. Поясните сущность задач классической динамики и теории управления.

11. Сформулируйте предмет и задачи дисциплины “Самолет как объект управления”.

Напомним, что числовой функцией или функцией одной (вещественной) переменной называется отображение , область определения которой есть числовое множество, т.е. .

Пусть и – окрестность точки (т.е. – такое числовое множество, которое содержит некоторую -окрестность ()точки ). Множество далее будем называть проколотой окрестностью точки .

Определение 1. Точка называется точкой сгущения или предельной точкой множества , если в любой ее проколотой окрестности имеется хотя бы одна точка этого множества, т.е. для любой окрестности точки

Æ.

Определение 2 (предела функции по Коши). Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при или, также, пределом функции в точке , если для любого существует такое , что для любого , удовлетворяющего неравенствам:

(1)

имеет место неравенство

(2)

Если число является пределом функции в точке , то пишут

, или , или .

Замечание 3. Определение предела по Коши часто называют определением предела на языке . На языке окрестностей оно, очевидно, может быть переформулировано следующим образом:

Определение 2^’. Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при или, также, пределом функции в точке , если для любого существует такое , что

(т.е. ).

В свою очередь, нетрудно видеть, что это определение равносильно следующему определению.

Определение 2”. Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при или, также, пределом функции в точке , если для любой окрестности точки существует такая окрестность точки , что