Критерий Коши существования предела функции

.

Определение 3 (предела по Гейне).Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при или, также, пределом функции в точке , если для любой последовательности последовательность сходится и

.

(3)

Замечание 4. Последнее определение называют также определением предела функции на языке последовательностей.

Теорема 1. Определения предела функции по Коши и по Гейне равносильны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Требуется доказать, что если число является пределом функции при в смысле одного из определений 2 и 3, то оно является также и ее пределом в точке (точке сгущения множества ) и в смысле другого из этих определений.

Пусть

(в смысле Коши)

(4)

Выберем произвольную последовательность

и произвольное . В силу условия (4) и определения 2 найдется такое, что для любого , удовлетворяющего неравенствам (1) имеет место и неравенство (2). В свою очередь, поскольку , то для этого найдется такой номер , что

,

а так как по условию и , то по определению 2

.

(5)

В силу произвольности это и означает, что имеет место равенство (3), т.е.

(в смысле Гейне)

(6)

Обратно, пусть имеет место равенство (6). Докажем, что тогда имеет место и равенство (4). Предположим противное. Тогда :

.

Зафиксируем это . Для него, в частности, :

,

при этом очевидно, что . Таким образом, нашлась последовательность такая, что

(7)

Однако, для той же последовательности и того же в силу условия (6), определения 3 и определения предела числовой последовательности найдется такой номер , что будет иметь место и неравенство (5), противоречащее неравенству (7). Следовательно (6)⇒(4) □

Следующие теоремы, с учетом определения предела функции по Гейне являются прямыми следствиями аналогичных теорем о пределе последовательности.

Теорема 2. Если функция имеет предел в точке , где – точка сгущения множества , то этот предел единственный.

Теорема 3 (об арифметических свойствах предела функции). Пустьфункции и определены на множестве и - точка сгущения этого множества. Тогда если существуют пределы

и ,

то существуют и пределы

, , ,

(последний при дополнительном предположении, что и ),

причем

а) ,

б) (теорема о пределе суммы и разности),

в) (теорема о пределе произведения),

г) (теорема о пределе частного).

Теорема 4 (о предельном переходе в неравенстве). Пустьфункции и определены на множестве и - точка сгущения множества . Тогда если

и существуют пределыи , то

.

Теорема 5 (принцип двух милиционеров). Пустьфункции , и определены на множестве и - точка сгущения множества . Тогда если

и существуют равные между собой пределы

и ,

то существует и равный им предел

,

т.е.

.

Теорема (критерий Коши). Пусть функция определена на множестве и точка сгущения этого множества. Для того, чтобы существовал предел

(7)

необходимо и достаточно, чтобы

.

(8)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть существует предел (7) и для определенности пусть . Выберем произвольное . Тогда найдется такое , что для любых , удовлетворяющих неравенствам и справедливы неравенства

и .

Поскольку , то тогда при тех же справедливо и неравенство (8). Необходимость доказана.

Достаточность. Покажем сначала, что для любой последовательности , последовательность – фундаментальная и, следовательно, она имеет предел. Выберем произвольную последовательность и произвольное . По условию такое, что справедливо неравенство (8). Зафиксируем это . Тогда в силу того, что и найдется такой номер , что при

.

Таким образом, при , но тогда по выбору имеем

.

В силу произвольности выбранного это и означает, что последовательность – фундаментальная.

Покажем теперь, что для любой последовательности предел один и тот же. Тогда в силу определения предела функции по Гейне это и будет означать, что существует предел (7). Предположим противное, т.е. пусть имеются две последовательности и (), которые сходятся к точке и , , причем . Рассмотрим последовательность

.

Очевидно, она сходится к точке , при этом все ее точки принадлежат множеству и отличны от точки . Тогда по доказанному выше последовательность

сходится и, следовательно, любые ее подпоследовательности имеют один и тот же предел, а это противоречит тому, что , и □