double arrow

С.Р. Метод Лагранжа


3.

Линейное однородное уравнение третьего порядка имеет следующий вид:
, где – константы.
Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение выглядит так:
, и оно в любом случае имеет ровно три корня.

Пусть, например, все корни действительны и различны: , тогда общее решение запишется следующим образом:

Если один корень действительный , а два других – сопряженные комплексные , то общее решение записываем так:

Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Рассмотрим простейшие однородное ДУ 3-го порядка с одиноким папашей: . Характеристическое уравнение имеет три совпавших нулевых корня . Общее решение записываем так:

Если характеристическое уравнение имеет, например, три кратных корня , то общее решение, соответственно, такое:

Пример 9

Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

, – получен один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.

Ответ: общее решение

Аналогично можно рассмотреть линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами: , где – константы.




Соответствующее характеристическое уравнение всегда имеет ровно четыре корня.

Общее решение записывается точно по таким же принципам, как и для однородных ДУ младших порядков. Единственное, хотелось прокомментировать тот случай, когда все 4 корня являются кратными. Пусть, например, характеристическое уравнение имеет четыре одинаковых корня . Тогда общее решение записывается так:
.

Тривиальное уравнение имеет общее решение:

Пример 10

Решить однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Пример 11

Решить самостоятельно однородное дифференциальное уравнение шестого порядка

Ответы

Пример 2: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

, – различные действительные корни
Ответ: общее решение:
Проверка: Найдем производную:

Найдем вторую производную:

Подставим и в левую часть исходного уравнения :
, таким образом, общее решение найдено правильно.

Пример 4: Решение: составим и решим характеристическое уравнение:


Получены два кратных действительных корня
Ответ: общее решение:

Пример 6: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:


– сопряженные комплексные корни
Ответ: общее решение:

Пример 8: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
, то есть , (значение константы получилось сразу же).

.
То есть .
Составим и решим систему:

Ответ: частное решение:
Проверка: – начальное условие выполнено.

– второе начальное условие выполнено.

Подставим и в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения (ноль).
Такие образом, здание выполнено верно.



Пример 10: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

, – получены два различных действительных корня и два сопряженных комплексных корня.
Ответ: общее решение

Пример 11: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

, – получены пять кратных нулевых корней и действительный корень
Ответ: общее решение







Сейчас читают про: