2014-02-09
1464
3.
Линейное однородное уравнение третьего порядка имеет следующий вид:
, где 
– константы.
Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение выглядит так:
, и оно в любом случае имеет ровно три корня.
Пусть, например, все корни действительны и различны: 
, тогда общее решение запишется следующим образом:
Если один корень действительный 
, а два других – сопряженные комплексные 
, то общее решение записываем так:
Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Рассмотрим простейшие однородное ДУ 3-го порядка с одиноким папашей: 
. Характеристическое уравнение 
имеет три совпавших нулевых корня 
. Общее решение записываем так:
Если характеристическое уравнение имеет, например, три кратных корня 
, то общее решение, соответственно, такое:
Пример 9
Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка
Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
, 
– получен один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.
|
|
|
Ответ: общее решение 
Аналогично можно рассмотреть линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами: 
, где 
– константы.
Соответствующее характеристическое уравнение 
всегда имеет ровно четыре корня.
Общее решение записывается точно по таким же принципам, как и для однородных ДУ младших порядков. Единственное, хотелось прокомментировать тот случай, когда все 4 корня являются кратными. Пусть, например, характеристическое уравнение имеет четыре одинаковых корня 
. Тогда общее решение записывается так:
.
Тривиальное уравнение 
имеет общее решение:
Пример 10
Решить однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
Пример 11
Решить самостоятельно однородное дифференциальное уравнение шестого порядка
Ответы
Пример 2: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
, 
– различные действительные корни
Ответ: общее решение: 
Проверка: Найдем производную:
Найдем вторую производную:
Подставим 
и 
в левую часть исходного уравнения 
:
, таким образом, общее решение найдено правильно.
Пример 4: Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
Получены два кратных действительных корня 
Ответ: общее решение: 
Пример 6: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
– сопряженные комплексные корни
Ответ: общее решение: 
Пример 8: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
, то есть 
, (значение константы получилось сразу же).
.
То есть 
.
Составим и решим систему:
Ответ: частное решение: 
Проверка: 
– начальное условие выполнено.
– второе начальное условие выполнено.
Подставим и 
в левую часть исходного уравнения:
Получена правая часть исходного уравнения (ноль).
Такие образом, здание выполнено верно.
|
|
|
Пример 10: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
, 
– получены два различных действительных корня и два сопряженных комплексных корня.
Ответ: общее решение 
Пример 11: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
, 
– получены пять кратных нулевых корней и действительный корень
Ответ: общее решение
