double arrow

Ряды с положительными членами


Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами:

и , причём члены первого рода не превосходят членов второго, т.е. при любом n un ≤ vn .

Тогда:

а) если сходится ряд 2, то сходится и ряд 1;

б) если расходится ряд 1, то расходится и ряд 2.

а) Пусть частичные суммы рядов 1 и 2 соответственно равны Sn и Sn. По условию ряд 2 сходится, следовательно, существует и Sn ≤ S, так как члены ряда 2 положительны. Рассмотрим последовательность частичных сумм Sn ряда 1. Эта последовательность является: возрастающей (так как с ростом n увеличивается сумма n положительных слагаемых) и ограниченной (так как Sn ≤ Sn в силу условия un ≤ vn , т.е. Sn ≤ Sn ≤ S).

Следовательно, на основании признака существования предела последовательность Sn имеет предел, т.е. ряд 1 сходится.

б) Применим метод доказательства от противного. Предположим, что ряд 2 сходится. Тогда согласно первой части теоремы сходиться и ряд 1, что противоречит предположению, т.е. ряд 2 расходится.

Теорема (предельный признак сравнения). Если и ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения иx общиx членов




, то ряды одновременно сходятся, либо расходятся.

Так как , то по определению предела числовой последовательности для любого ε > 0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство

< ε или < εvn , откуда (k - ε)vn < un < (k + ε)vn.

Теорема (признак Даламбера).Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n + 1)-го члена к n-му члену . Тогда, если L < 1, то ряд сходится; если L > 1, то ряд расходится; если L = 1, то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешенным.

Замечание 1. Если = ∞, то ряд расходится.

Замечание 2. Если = L = 1, то, как отмечалось выше, признак Даламбера ответа о сходимости ряда не дает, и рекомендуется перейти к другим признакам сходимости.

Теорема (интегральный признак сходимости).Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают, т.е. u1 ≥ u2…..≥ un….., а функция f(x), определенная при x ≥ 1, непрерывная и невозрастающая и

f(1) = u1, f(2) = u2, ….., f(n) = un, …. .

Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл .







Сейчас читают про: