Ряд Маклорена

3.

2.

Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R ≥ 0, что при | х | < R ряд сходится, а при | х | > R - расходится.

Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (- R; R) - интервала сходимости степенного ряда.

На концаx интервала сходимости, т.е. при x = - R и x = R, ряд может как сходиться, так и расходиться.

Найдём выражение радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютныx величин его членов

,

в котором все коэффициенты с_n, по крайней мере начиная с некоторого номера n, отличны от нуля. По признаку Даламбера ряд сходится, если

будет меньше 1, т.е.

< 1 или | х | < .

Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости ряда, т.е.

R = .

Замечание. Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R = 0), у других охватывает всю ось 0 x (R = ∞).

Теорема. Для того, чтобы ряд Маклорена сходился к функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы при n → ∞ остаток ряда стремился к нулю, т.е.

для всеx значений х из интервала сходимости ряда.