double arrow

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА


Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a11x2+2a12xy+a22y2

Определение: ненулевой вектор (a, b) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.

(a, b) – вектор асимптотического направления.

a11a2+2a12ab+a22b2=0 (*)

Рассмотрим (a’, b’) параллельный (a, b): следовательно . Дробь a/b характеризует вектор асимптотического направления.

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

Решение: положим, что b¹0 и поделим на b2, получим: a11(a/b)2+2a12a/b+a22=0 из этого квадратного уравнения найдем a/b.

т.к. у линий гиперболического и параболического типов I2£0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I2>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

Найдем асимптотические направления у гиперболы:

(a, b)1=(a,b)

(a, b)2=(-a,b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.




Найдем асимптотические направления у параболы:

y2=2px

y2-2px=0

u(x,y)= y2+0, y=0

(a, b)=(0,0)

Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.







Сейчас читают про: