Различные уравнения плоскости

Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C¹0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках:

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n(A,B,C) и М(x₀;y₀;z₀). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax₀+By₀+Cz₀=-D

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

5. Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

М₁(x₁;y₁;z₁); М₂(x₂;y₂;z₂); М₃(x₃;y₃;z₃)

Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.

М₁М x-x₁ y-y₁ z-z₁

М₁М₂ x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁ =0

М₁М₃ x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁

6. Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V₁;V₂;V₃); U(U₁;U₂;U₃); M₀(x₀;y₀;z₀), тогда плостость имеет вид: система: x=x₀+V₁t+U₁s и y=y₀+V₂t+U₂s и z=z₀+V₃t+U₃s