2014-02-17
436
Определение. Открытым шаром радиуса 
с центром в точке 
называется множество
Определение предела (по Коши) функции 
переменных полностью повторяет определение предела для функции одной переменной.
Определение. Пусть функция 
определена в шаре 
, где 
и 
Число 
называется пределом функции 
в точке 
и при этом пишут 
(или 
), если 
такое, что 
Точно также как для функции одной переменной доказываются следующие свойства предела:
1) Предел единственен;
2) Предел суммы, разности или произведения функций в точке равен сумме, разности или произведению пределов при условии, что они существуют.
3) Предел отношения двух функции в точке 
равен отношению пределов, при условии, что предел знаменателя не равен 
.
Определение. Пусть функция определена в шаре 
, где и Функция
называется непрерывной в точке , если
В противном случае функция называется разрывной в точке . Функция называется непрерывной на множестве 
, если она непрерывна в каждой точке множества 
Из свойств предела следуют следующие свойства непрерывных функций:
1)Если функции и 
, где 
непрерывны в точке , то в точке непрерывны функции 
, а также 
если 
2) Если функция 
непрерывна в точке , а функция 
непрерывна в точке 
, то сложная функция 
непрерывна в точке 
При изучении свойств функций многих переменных удобно исследовать линии уровня и графики функций.
Определение. Пусть дана функция 
где 
Линией уровня, соответствующей значению 
, называется множество
Замечание. Линия уровня функции двух переменных 
представляет собой множество точек плоскости, удовлетворяющие равенству
Пример. Линиями уровня функции 
при 
являются концентрические окружности
.
Определение. Графиком функции двух переменных называется множество точек пространства
