Независимость нескольких событий

Что нужно, чтобы n случайных событий можно было назвать независимыми в совокупности?

Во-первых, любые два события должны быть независимыми, т.е.

P (Ç )= P () × P (), i ¹ j

Рассмотрим произвольные три события , , и — они должны быть независимыми, т.е.

Р (Ç Ç ) = Р (Ç )× P ()

= P () × P () × P ().

Аналогичными рассуждениями получаем, что должно выполняться следующее равенство:

Определение. События , ,..., называются независимыми (независимыми в совокупности), если для любого конечного набора из этих событий:

, …, _, 1£ i ₁ < i ₂ <.... < i_k £ n, k= 1 ,..., n

выполняется равенство

P ( Ç … Ç ) = P ( )· … P ().

Пример. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принять первый вызов, равна 0,2; второй вызов — 0,3; третий вызов — 0,4. По условиям приема, события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Нас интересует вероятность события

А = { корреспондент вообще услышит вызов }.

Обозначим через

= { корреспондент услышит i - й вызов }, i = 1,2,3.

Если учесть, что А заключается в том, что корреспондент услышит хотя бы один вызов, то найдем вероятность противоположного события

Ā = { корреспондент не услышит ни одного вызова }.

Так как , i = 1,2,3 независимые события, то

Р (Ā) = Р (Ā ₁ Ç Ā ₂ Ç Ā ₃)= Р (Ā ₁) × Р (Ā ₂) × Р (Ā ₃)

= (1-0,2)(1-0,3)(1-0,4) =0,336.

Отсюда получим искомую вероятность Р (A) = 0, 664.