Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика»
Вопросы и задачи
По теории вероятностей
Для студентов
бакалавриата экономики
МОСКВА 2010 ГОД
ВГОБУ ВПО «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика»
УТВЕРЖДАЮ
Ректор Финуниверситета
____________М.А. Эскиндаров
«____» ______________2010 г.
Вопросы и задачи
По теории вероятностей
Для студентов бакалавриата экономики
Одобрено кафедрой
«Математика и финансовые приложения»
(протокол №3 от 6 октября 2010 г.)
МОСКВА 2010 ГОД
УДК
ББК
Браилов А.В., Гончаренко В.М., Зададаев С.А., Коннов В.В. Вопросы и задачи по теории вероятностей. Для студентов бакалавриата экономики. М.: Финансовый университет при Правительстве РФ, кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика», 2010. — 44 с.
Рецензент: Мелехина Т.Л., доцент кафедры «Теория вероятностей и математическая статистика».
|
|
Пособие содержит теоретические вопросы и практические задания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика», читаемому в третьем семестре студентам бакалавриата экономики. Предназначено для организации самостоятельной работы студентов и для подготовки к экзамену, а также содержит основные требования к уровню освоения дисциплины в части теории вероятностей.
Под редакцией С.А.Зададаева.
Браилов Андрей Владимирович
Гончаренко Василий Михайлович
Зададаев Сергей Алексеевич
Коннов Валерий Владимирович
Компьютерный набор, верстка: Браилов А.В., Зададаев.С.А.
Формат 60x90/16. Гарнитура Таймс.
Усл. 3,125 п.л. Изд. №______2010.
Тираж 20 экз. Заказ № ______________
Отпечатано в Финансовом университете при Правительстве РФ
125468, Ленинградский пр-т, 49
Полное или частичное воспроизведение или размножение каким-либо способом настоящего издания допускается только с письменного разрешения Финансовой академии при Правительстве РФ.
© Финансовый университет при Правительстве РФ, 2010.
Содержание
I. Теоретические вопросы
1. Случайные события ……………………………………………………… …… 4
2.Схема Бернулли ………………………………………………………………... 7
3. Дискретные случайные величины ……………………………………… …… 9
4. Непрерывные случайные величины …………………………………………. 13
5. Начальные и центральные моменты случайных величин ………………….. 15
6. Случайные векторы …………………………………………………………… 16
7. Предельные теоремы теории вероятностей ……………………………. …… 18
II. Практические задания
1. Случайные события …………………………………………………………… 20
|
|
2. Дискретные случайные величины …………………………………………… 26
3. Непрерывные случайные величины …………………………………………. 32
4. Случайные векторы …………………………………………………………… 36
Дополнения ………………………………...……………………………………… 42
Ответы к задачам ………………………………………………………………… 43
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
Случайные события
● Основные определения и свойства. Алгебра событий
1. Что называется случайным событием, связанным с опытом? Как определятся событие, противоположное данному? Приведите примеры.
2. Что называется суммой и произведением событий и ? Имеют ли смысл сумма и произведение событий, относящихся к разным опытам? Перечислите все случаи наступления события .
3. Что называется пространством элементарных событий? Что называется случайным событием? Какие исходы называются благоприятными для события ? Что называется вероятностью события ? Приведите примеры. Можно ли в опыте с бросанием игральной кости считать элементарными следующие события: – выпадение числа очков, меньших ; – выпадение более очков?
4. Какие события называются достоверными и невозможными и каковы их вероятности? Пусть , и – случайные события. Перечислите все случаи наступления события .
5. В каком случае событие называют следствием события ? Какие события называются равными? Объясните, почему .
6. Пусть и – случайные события. Упростите выражение . Найдите событие, противоположное событию ?
7. Докажите, что . Что означает событие ?
8. Докажите, что . Что означает событие ?
9. Сформулируйте статистическое определение вероятности. Почему вероятность удовлетворяет условию ? Возможны ли случаи и ? Ответ обоснуйте.
● Теорема сложения вероятностей
10. Сформулируйте и докажите теорему сложения вероятностей для любых событий и . Что такое правило сложения вероятностей для несовместных событий и ?
11. Какие события называются попарно несовместными? Сформулируйте правило сложения вероятностей для попарно несовместных событий . Приведите пример попарно несовместных событий и таких что
12. Объясните, почему для событий и . Чему равна сумма вероятностей противоположных событий? Ответ обоснуйте.
13. Верно ли, что если событие является следствием события , то ? Ответ обоснуйте.
● Условная вероятность
14. Дайте определение условной вероятности и приведите его статистическую интерпретацию. Укажите примеры, когда: 1) ; 2)
● Независимые события и правило умножения вероятностей
15. Какие события называются независимыми? Докажите, что если события и независимы, то независимы события и .
16. Что такое правило умножения вероятностей: а) для независимых событий и ; б) для любых и ? Запишите правило умножения вероятностей для трех (зависимых) событий и . Приведите примеры применения соответствующих формул.
17. Как определяется независимость в случае трех событий? Рассмотрите пример: пусть в опыте с бросанием двух монет события означают: – на первой монете выпал герб; – на второй монете выпал герб; – обе монеты упали на одну сторону. Будут ли независимы все три события? Почему?
18. Как соотносятся понятия независимые события и и несовместные события и ? Следует ли из независимости событий и независимость событий и ? Почему?
19. События и независимы; события и также независимы. При этом события и несовместны. Следует ли из этого, что события и независимы? Ответ необходимо обосновать.
20. События и независимы; события и также независимы. При этом события и несовместны. Следует ли из этого, что события и независимы? Ответ необходимо обосновать.
21. Как определяется независимость событий в случае ? Является ли равенство достаточным для независимости событий ? Ответ обоснуйте.
|
|
22. Имеется две игральные кости: одна – симметричная, вторая – несимметричная. Пусть – вероятность того, что при одновременном броске данных костей на них выпадет одинаковое число очков. Докажите, что
● Геометрический подход к определению вероятности
23. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности. Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается на отрезке в треугольнике
24. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности. Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается в круге радиуса ? в кубе со стороной
● Полная группа событий. Формула полной вероятности и формула Байеса
25. Что такое полная группа событий? Приведите пример, когда события , и не образуют полной группы событий.
26. Верно ли, что события , , и образуют полную группу для любых событий и ? Ответ обоснуйте.
27. Событие влечет событие Верно ли, что Дайте обоснованный ответ.
28. Сформулируйте и докажите формулу полной вероятности. Приведите пример ее применения.
29. Сформулируйте и докажите формулу Байеса. Приведите пример ее применения.