Пусть даны три вектора . Если вектор
векторно умножается на вектор
, а затем полученный вектор
скалярно умножается на вектор
, то в результате получается число
, называемое смешанным произведением векторов
.
Из определения следует геометрический смысл смешанного произведения трех векторов:
Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах
, взятому со знаком плюс, если тройка
правая, и со знаком минус, если тройка
левая. Если же векторы компланарны, то
.
Отсюда видно, что .
Поэтому можно записать смешанное произведение трех векторов просто в виде
,
не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно.
Следствие 1.Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанноно произведения.
Следствие 2. .