Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три вектора . Если вектор векторно умножается на вектор , а затем полученный вектор скалярно умножается на вектор , то в результате получается число , называемое смешанным произведением векторов .

Из определения следует геометрический смысл смешанного произведения трех векторов:

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , взятому со знаком плюс, если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же векторы компланарны, то.

Отсюда видно, что .

Поэтому можно записать смешанное произведение трех векторов просто в виде

,

не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно.

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанноно произведения.

Следствие 2. .