2014-02-24
2145
Данным способом удобно пользоваться когда известна траектория движения материальной точки.
t - касательная, n – главная нормаль, b – бинормаль.
Из кинематики известно, что
,
где r - радиус кривизны траектории в точке. Тогда дифференциальные уравнения движения в проекции на естественные оси принимают вид:
(4)
Решение второй задачи динамики заключается в двукратном интегрировании уравнений (3) или (4). Для чего необходимо знать начальные условия, т.е. начальную скорость и начальные координаты. Во многих случаях эти уравнения нелинейные и решаются численно на ЭВМ.
Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки при действии переменных сил
Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки под действием переменной силы.
1. Сила зависит от времени F=F(t).
Основное уравнение динамики имеет вид
. (5)
Проектируем (5) на направление движения
. (6)
Разделяем переменные в (6) и интегрируем
. (7)
После интегрирования (7) получим скорость (первый интеграл) как функцию
|
|
|
v=v(t) (8)
Закон движения находим после вторичного интегрирования. Запишем (8) в виде
,
. (9)
Интегрируя (9), получаем закон движения (второй интеграл) в виде
x=x(t)
2. Сила зависит от перемещения F=F(x)
Основное уравнение динамики имеет вид
. (10)
Проектируем (10) на направление движения
. (11)
Для интегрирования (11) воспользуемся заменой
. (12)
Подставим (12) в (11) и разделим переменные
. (13)
Интегрируя (13), получаем скорость как функцию перемещения
v=v(x). (14)
Переписав (14) в виде 
и разделив переменные, получим
. (15)
Интегрируя (15), получаем закон движения в виде
x=x(t).
3. Сила зависит от скорости F=F(v).
Основное уравнение динамики имеет вид
. (16)
Проектируем (16) на направление движения
. (17)
Разделив переменные в (17), получим
. (18)
После интегрирования (18) получим
v=v(t) (19)
Интегрируя (19) вторично (см. случай F=F(t)), получим закон движения
x=x(t).
