Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Перевод целых чисел осуществляется по правилу последовательного деления

Перевод целых чисел осуществляется по правилу последовательного деления. Исходное число, записанное в системе с основанием p, и его частные последовательно делятся на число q, записанное в системе с основанием p. Деление производится до тех пор, пока частное не станет меньше q. Старшей цифрой записи числа по основанию q служит последнее частное, а остальные цифры дают остатки от деления, выписанные в порядке, обратном их получению.

Пример 1:

134₁₀→2-ую систему счисления. Производим деление на 2 и выписываем остатки:

Частичные частные
Остаток

Таким образом, 134₁₀=10000110₂

Пример 2: 427₁₀→16-ую систему счисления. Производим деление на 16 и выписываем остатки:

Частичные частные
Остаток

Таким образом, 427₁₀=1AB₁₆

Пример 3: 31₈→10-ую систему счисления. Запишем 10 в восьмеричной системе:10₁₀=12₈. Будем производить деление 31 на 12 в восьмеричной системе и выписывать остатки:

Частичные частные
Остаток

Таким образом, 31₈=25₁₀

Перевод дробных чисел осуществляется по правилу последовательного умножения. Исходное число, записанное в системе счисления p, и дробные части получающихся произведений последовательно умножается на число q, записанное в системе с основанием p. Целые части получающихся произведений дают последовательность представления дробного числа. Умножение производится до достижения необходимой точности.

Пример 4:

0.134₁₀→2-ую систему счисления

0.134*2= 0. 268

0.268*2= 0. 536

0.536*2= 1. 072

0.072*2= 0. 144

0.144*2= 0. 288

0.288*2= 0. 576

0.576*2= 1. 152

Таким образом, 0.134₁₀=0.0010001…₂

Пример 5:

0.011₂→10-ую систему счисления

Переведем 10 в двоичную систему счисления

10₁₀=1010₂

0.011*1010= 11. 110 целая часть соответствует 3₁₀

0.11*1010= 111. 10 целая часть соответствует 7₁₀

0.1*1010= 101. 0 целая часть соответствует 5₁₀

Таким образом, 0.011₂=0.375₁₀

Перевод чисел из одной системы счисления в другую, когда одно основание является целой степенью другого. Как мы уже знаем, в компьютерах наибольшее распространение получили системы основаниями, кратными степени 2: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Правила перевода чисел между такими системами значительно упрощаются:

Для того чтобы перевести восьмеричное число в двоичное, необходимо каждой восьмеричной цифре сопоставить ее двоичный эквивалент. Для того чтобы перевести двоичное число в восьмеричное, необходимо каждой тройке цифр в двоичном числе сопоставить восьмеричный эквивалент.

Аналогичные правила действуют при переводе шестнадцатеричных чисел в двоичные и обратно. Разница заключается лишь в том, что в этом случае рассматриваются не тройки, а четверки двоичных чисел.

Например:

62.753₈=110 010.111 101 011₂

1D8.7A₁₆=0001 1101 1000.0111 1010₂

1011100₂=0101 1100₂=5C₁₆

Аналогичные правила работаю и в общем случае.

Пусть даны системы счисления с основаниями p и q, p=q^s, где s – целое число. Для перевода числа из системы с основанием p в число в систему с основанием q требуется каждую цифру исходного числа заменить на ее эквивалент в системе с основанием q. Для перевода числа из системы с основанием q в число в систему с основанием p требуется каждые s цифр исходного числа заменить на их эквивалент в системе с основанием p.