2014-02-24
1102
1°. 
, 
. Вещественно значная функция вещественного аргумента.
2°. 
, 
. Вещественно значная функция комплексного аргумента.
3°. 
, 
: 
, 
, 
. Комплексно значная функция вещественного аргумента.
4°. 
, 
. Комплексно значная функция комплексного аргумента.
5°. Комплексно значная функция натурального аргумента называется комплексно значной последовательностью 
.
§ Предел. Дифференцируемость. Непрерывность. Интегрируемость.
Комплексно значная функция комплексно значного аргумента – векторно значная функция векторного аргумента.
Def. Точка 
называется точкой сгущения множества М (предельной точкой), если 
существует, по крайней мере одна, (а значит бесконечно много) отличная от 
точка из множества M.
Def. 
.
(a, b, z 
C).
*. Если комплексно значная функция имеет предел, то её модуль также имеет предел и при этом: 
.
Δ Факт этот следует из неравенства: 
. ▲.
Если 
, при 
, 
то
*) 
;
*) 
, 
*) 
.
Непрерывность в терминах пределов и неравенств формулируется так же, как и для вещественно значных функций.
Производная и дифференциал функции определяется в полной аналогии с определениями для функций вещественного аргумента. И результаты зачастую очень похожи. Однако …
Для комплексно-значных функций требования дифференцируемости накладывает существенные ограничения.
.
Переходя в полученном выражении к пределу, получаем:
1) 
, 
, 
; 2) 
, 
, 
.
Из двух различных записей для 
делаем вывод: функция комплексного аргумента 
дифференцируема тогда и только тогда, когда выполняются условия: 
; 
. Эти условия называются условиями Коши – Римана.
При этом из условий Коши – Римана для дифференцируемой функции следует:
;
Кроме того непосредственными вычислениями удается установить, что:
; 
; 
; ……
