Полная вероятность и формула Байеса

Решим задачу о Тезее, который, выбираясь из лабиринта, в пункте А потерял нить Ариадны. Какова вероятность того, что он придет в пункт В? Тезей случайным образом выходит на ту или иную дорогу, то есть событие В происходит с одним и только с одним из полной группы попарно несовместных событий . Они называются гипотезами. Известны вероятности этих событий. Но далее из каждого пункта он попадет в пункт В с различной вероятностью. Эти вероятности обозначим , где i принимает значения от 1 до n. Требуется вычислить полную ве­роятность Р(В) того, что Тезей попадет из пyнкта А в пункт В. Другими словами, пусть требуется определить вероятность события В, которое может произойти в сочетании с одним из событий А₁, А₂,…, А_n, образующих полную группу несовместных событий ( , ). Эти события будем называть гипотезами.

А₁ А₂ А₃

ВА₁ ВА₂ ВА₃

ВА_n-2 ВА_n-1 ВА_n

А_n-2 А_n-1 А_n

Применяя формулу для вероятности суммы несовместных событий, получим формулу полной вероятности.: . Вероятности называются априорными (a priori – (лат.) до того).

Теорема гипотез Байеса. Пусть теперь известно, что событие В произошло. Тогда .

Требуется найти вероятности i=l, 2,..., n - вероятности гипотез после опыта. Они называются апостериорными (a posteriori – (лат.) после того). Используя теорему умножения вероятностей, имеем P(ВА_i) ==

Из последнего равенства получим формулу Байеса , i=1, 2, …, n, где Р(В) есть полная вероятность осуществления события В.

Пример. Имеются 2 урны, в каждой из которых находится по 10 шаров, причем в 1-й урне 7 белых и 3 черных шара, во 2-й – 2 белых и 8 черных. наудачу из одной из урн вынимается шар. а) Найти вероятность того, что вынут белый шар. б) шар оказался белым. Найти вероятность того, что он вытянут из второй урны.

а) Пусть В – вытягивание белого шара. А1 –выбор первой урны, А2 – выбор второй урны, Тогда Р(В) можно вычислить по формуле полной вероятности , то есть. б). По формуле Байеса имеем, тогда

Пример. Мышка наугад выбирает одну из двух одинаковых кормушек, состоящих из пяти ячеек. В одной кормушке сыр только в одной ячейке, в другой – в четырёх. Событие А – съесть кусочек сыра. Какова вероятность события А? Каковы вероятности того, что второй раз мышка побежит к первой корзине, ко второй корзине?

Рассмотрим гипотезы: Н₁ – мышка бежит к первой кормушке, Н₂ – мышка бежит ко второй кормушке. Р(Н₁) =1/2 = Р(Н₂) (априорные вероятности) .

Р(Н₁/A)

Р(Н₂/A) (апостериорные вероятности).

При втором подходе , то есть мышка обучилась, второй раз она выберет первую кормушку с большей вероятностью и добьется большего успеха.

Это – один из основных принципов обучения кибернетических систем.