Спектр дискретного сигнала

Дискретный сигнал является последовательностью чисел, поэтому для анализа его представляют в виде дельта-функций с соответствующими множителями и задержками. Для последовательности отсчетов получится следующий сигнал:

. (4)

Преобразование Фурье линейно, спектр дельта-функции равен единице, а задержка сигнала во времени приводит к умножению спектра на комплексную экспоненту:

. (5)

Из этой формулы видно главное свойство спектра любого дискретного сигнала: он является периодическим, и его период в этом случае равен , т.е. .

Рассмотрим несколько иную задачу. Пусть являются отсчетами аналогового сигнала , взятыми с периодом :

. (6)

Выясним, как в этом случае спектр дискретного сигнала связан со спектром аналогового сигнала .

Итак, мы рассматриваем дискретизированный сигнал в виде последовательности дельта-функций, взвешенной значениями отсчетов аналогового сигнала :

. (7)

Рис 2. Дискретизированный сигнал в виде

последовательности дельта-функций.

Так как функция равна нулю всюду, кроме момента , то можно заменить в выражении (7) константы на исходный непрерывный сигнал

.

Как видно, сумма является периодическим сигналом, а поэтому может быть представлена в виде ряда Фурье. Коэффициенты этого ряда равны:

. (8)

Таким образом, периодическая последовательность дельта-функций может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье:

, (9)

где .

Сделав подстановку, получим:

. (10)

Умножение сигнала на соответствует сдвигу спектральной функции на , поэтому спектр дискретизированного сигнала можно записать следующим образом:

. (11)

Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых копий спектра исходного сигнала . Расстояние по частоте между соседними копиями спектра равно частоте дискретизации .