Интегрируемые ОДУ первого и второго порядков

Литература

1. Подбельский В.В. Язык Cu ++: Учебное пособие. - М.: Финансы и статистика,1995, - 560 с.

2. Страуструп Б. Язык программирования Сг ++. - М.: Радио и связь, 1991. - 352 стр.

3. Собоцинский В.В. Практический курс Turbo Cu ++. Основы объктно- ориентированного программирования. - М.: Свет, 1993. - 236 с.

4. Романов В.Ю. Программирование на языке Cu ++. Практический подход. - М.: Компьтер, 1993. - 160 с.

5. Уинер Р. Язык турбо Cu. - М.: Мир, 1991. - 384 с.

6. Юлин В.А., Булатова И.Р. Приглашение к Cu. - Мн.: Высш. Шк., 1990,- 224 с.

7. Котлинская Г.П., Галиновский О.И. Программирование на языке Cu. -Мн.: Высш. Шк., 1991. - 156 с.

Опр ОДУ вида или вида называется ОДУс разделяющимися переменными. ОДУ вида или вида называется ОДУс разделенными переменными.

ЗАМЕЧАНИЕ Решения этих уравнений выписываются в квадратурах:

, .

_____

Опр Функция называется однородной функцией степени , если

Пример - однородная функция нулевой степени;- однородная

функция степени .

Опр ОДУ вида или вида называется однородным, если соответственно - однородная функция нулевой степени, - однородные функции одинаковой степени.

ЗАМЕЧАНИЕ Однородное ОДУ преобразуется в ОДУ с разделяющимися перемен ными, если зависимую переменную заменить на по формуле .

_____

Опр ОДУ вида , где функции заданы и непрерывны, называется уравнением Бернулли, если и линейным уравнением (ЛДУ) в противном случае.

ЗАМЕЧАНИЕ Эти ОДУ решаются методом вариации произвольной постоянной. 1) Сначала решается ОДУ с разделяющимися переменными .

2) Решение исходного уравнения ищем в виде , считая в предыдущем решении произвольную постоянную зависящей от (говорят: варьируя произвольную постоянную ). Для нахождения подставим это решение в

исходное уравнение:. После сокращения получаем уравнение с разделяющимися переменными для нахождения .

Пример Пусть в фильтре нижних частот входное напряжение изменяется по синусоидальному закону: . Тогда уравнение фильтра нижних частот имеет вид . Так как решение соответствующего однородного уравнения равно , то частное решение ищем в виде. находим из уравнения с разделяющимися переменными

где . Тогда падение напряжения на конденсаторе изменяется по закону .

С течением времени второе слагаемое стремится к нулю. Поэтому будет меняться периодически. Его амплитуда , очевидно, мала для больших (верхних) значений частот , что и объясняет название фильтра.

____

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Решение ОДУ второго порядка вида сводится к решению ОДУ первого порядка с помощью замены .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Решение ОДУ второго порядка вида сводится к решению

ОДУ первого порядка с помощью замены на зависимую переменную .

Первое очевидное. Докажем второе. .

Пример (Уравнение колебаний математического маятника).

Материальная точка массы подвешена на нерастяжимой нити длины . На неё действуют две силы: вертикальная сила тяжести и сила реакции нити. Запишем закон колебаний маятника в виде

где - угол его отклонения от положения равновесия в момент времени. Равнодействующая этих сил направлена по касательной к маятнику и потому второй закон Ньютона для него имеет вид