Численное решение задачи Коши для ОДУ

Опр Сеткой с шагом и узлами называется разбиение отрезка точками . Сеточной функцией называется функция, определенная в узлах .

Пусть правая часть ОДУ имеет непрерывные частные производные в точке . Тогда по формуле Тейлора в окрестности точки для решения задача Коши: , имеем

.

Последнее равенство подводит к такому определению.

Опр Методом Эйлера приближенного решения задачи Коши на сетке называется нахождение сеточной функции по формулам

.

ЗАМЕЧАНИЕ Локальная погрешностьметода Эйлера – это погрешность на одном шаге, и она равна, как следует из формулы Тейлора, . Глобальная погрешность – это величина . Для метода Эйлера она равна .

Опр Методом Рунге-Кутта приближенного решения задачи Коши на сетке называется нахождение сеточной функции по формулам

, где , .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Локальная погрешность метода Рунге-Кутта на одном шаге равна . Глобальная погрешность равна .

КПР Задачу Коши можно решить приближенно методом Рунге-Кутта на любом отрезке . Однако точное решение единственно и имеет вид . Это видимое противоречие объясняется тем, что при определении глобальной оценки предполагается существование решения на всем отрезке, что в данном случае имеет место только на . Известны результаты, позволяющие определить характер точного решения по поведению приближенного.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Методы Эйлера и Рунге-Кутта имеют место и для НСОДУ.

Пример Для задачи Коши формула метода Рунге-Кутта имеет вид , где

.