- Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число называется матрица , элементы которой . Например, если .
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
- Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С=А+В, элементы которой ;(т.е. матрицы складываются поэлементно).
- Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через операции А-В=А+(-1)В.
Замечание. Операции сложения и умножения на число называются линейными операциями.
- Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -той строки матрицы А на соответствующие элементы -того столбца матрицы В. ;.
Пример. Вычислить произведение матриц .
Решение. .
Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами:
|
|
А+В=В+А; (А+В)С=АС+ВС;
(А+В)+С=А+(С+В); (АВ)= (А)В=А(В);
(А+В)= А+В; А(ВС)=(АВ)С.
А(В+С)=АВ+АС;
Однако имеются и специфические свойства матриц. Так операция умножения матриц имеет отличия от умножения чисел:
а) Если произведение матриц АВ существует, то после перестановки матриц местами произведение матриц ВА может и не существовать. Так в рассмотренном выше примере произведение ВА не существует, т.к. число столбцов первой матрицы (В) не равно числу строк второй матрицы (А).
б) Если даже произведения АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.
в) В случае, когда оба произведения существуют и это матрицы одного размера (это возможно, если перемножались квадратные матрицы одного порядка), коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т.е. .
В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А п -го порядка на единичную матрицу Е того же порядка, причем это произведение равно А: .
Т.о. единичная матрица играет при умножении матриц такую же роль, что и число 1 при умножении чисел.
г) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что АВ=0 не следует, что А=0 или В=0. Например, .
5. Возведение в степень. Целой положительной степенью квадратной матрицы А называется произведение т матриц А, т.е. . Нетрудно показать, что:
.
6. Транспонирование матрицы – переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбца поменялись местами с сохранением порядка.
. Обозначают транспонированную матрицу также символом .
Из определения следует, что, если матрица А имеетразмер , то транспонированная матрица имеет размер .
|
|