Системы линейных уравнений

Пусть дана система т линейных уравнений относительно п неизвестных . Уравнения системы пронумеруем: первое, второе и т.д. Коэффициенты при неизвестных в -том уравнении системы обозначим через (первый индекс указывает номер уравнения, второй – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент), а свободный член -того уравнения – через . Тогда система будет иметь вид:

(1)

Числа называются коэффициентами системы уравнений, а числа - свободными членами. Заметим, что в системе уравнений (1) количество неизвестных может не совпадать с числом уравнений.

• Решением системы уравнений (1) называется такая последовательность чисел , которая является решением каждого уравнения системы. Решить систему – значит найти все ее решения или убедиться в том, что их нет.

Возможны только три случая:

1) система уравнений несовместна, т.е. не имеет ни одного решения;

2) система уравнений является определенной, т.е. имеет единственное решение;

3) система уравнений является неопределенной, т.е. имеет бесчисленное множество решений.

• Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.
• Неизвестное называется разрешенным, если какое-нибудь уравнение системы содержит это неизвестное с коэффициентом, равным единице, а во все остальные уравнения системы неизвестное не входит, т.е. входит с коэффициентом, равным нулю.

Например, система уравнений

содержит разрешенные неизвестные , неизвестные же не являются разрешенными.

• Если каждое уравнение системы содержит разрешенное неизвестное, то такую систему называют разрешенной. Так система, приведенная выше, является разрешенной.

Из каждого уравнения разрешенной системы выберем по одному разрешенному неизвестному, получим набор попарно различных неизвестных, который называется набором разрешенных неизвестных данной системы. Заметим, что набор разрешенных неизвестных в общем случае определен неоднозначно. Например, приведенная в примере система обладает двумя наборами разрешенных неизвестных и .

Неизвестные системы линейных уравнений, которые не входят в данный набор, называются свободными. Так, если в системе - набор разрешенных неизвестных, то неизвестные являются свободными, если же - набор разрешенных неизвестных, то свободными являются неизвестные .

• Разрешенная система уравнений всегда совместна.
• Система будет определенной, если число уравнений равно числу неизвестных, и неопределенной, если количество неизвестных больше числа уравнений.