2014-02-24
2233
Теорема Крамера. Пусть 
- определитель матрицы системы А, а 
- определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой 
-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если 
, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: 
.
Эти формулы получили название формул Крамера.
Из рассмотрения формул ясно, что при =0 система или не имеет решения (если один из определителей 
), или имеет бесчисленное множество решений при всех =0.
Заметим: 1. Если система однородна, т.е. все свободные члены равны нулю, то она всегда имеет нулевое (тривиальное) решение при ;
2. Если =0, то однородная система имеет ненулевые решения.
Существенным недостатком решения систем 
методом Крамера и методом обратной матрицы является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. Поэтому эти методы представляют скорее теоретический интерес и на практике не применяются для решения экономических задач, сводящихся часто к системам с большим числом неизвестных.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений, не нарушающие равносильность системы:
1) Вычеркивание уравнения системы, у которой все коэффициенты при неизвестных и свободный член равны нулю. Такое уравнение называется тривиальным.
2) Умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.
3) Замена 
-го уравнения системы уравнением, которое получается путем почленного сложения 
-го и -го уравнений системы.
Пример. Решим систему 
методом Крамера.
Определитель данной системы
Вычислим определители 
, 
и 
:
.
.
.
Решение системы: 
Для того чтобы убедиться в правильности решения, сделаем проверку, то есть подставим найденные значения 
в исходную систему
.
