Регрессионный анализ. Парное и множественное уравнение регрессии
Индекс корреляции
Индекс корреляции рассчитывается по следующей формуле:
Аналитическое представление корреляционной зависимости называется уравнением регрессии.
Парная корреляционная зависимость описывается уравнением парной регрессии, множественная корреляционная зависимость – уравнением множественной регрессии.
Признак-результат в уравнении регрессии – это зависимая переменная, а признак-фактор – независимая переменная.
Простейшим видом уравнения регрессии является парная линейная зависимость.
где y – зависимая переменная (признак-результат),
x – независимая переменная (признак-фактор).
В качестве уравнения регрессии могут быть выбраны различные математические функции: чаще всего исследуется линейная зависимость, парабола, гипербола, степная функция. Но исследование начинается с линейной зависимости, так как результаты поддаются содержательной интерпретации.
|
|
При нанесении на поле корреляции точек, координаты которых соответствуют значениям зависимых и независимых переменных выявляется тенденция связи между ними.
Смысл построения уравнения регрессии состоит в описании тенденции зависимости признака-результата от признака-фактора.
Если линия регрессии проходит через все точки поля корреляции, то эта функциональная связь. Так как всегда присутствует ошибка, поэтому нет функциональной связи.
Наличие ошибки связано с тем что:
§ не все факторы, влияющие на результат, учитываются в уравнении регрессии;
§ может быть неправильно выбрано уравнение регрессии или форма связи.
Уравнение регрессии описывает изменения условного среднего значения признака-результата под влиянием конкретных значений признака-фактора, то есть это аналитическая форма тенденции зависимости между изучаемыми признаками. Уравнение регрессии строится на основе фактических значений признаков, и для его использования нужно рассчитать параметры уравнения а и b. Определение значений параметров, как правило, выполняется с использованием методов наименьших квадратов (МНК).
Суть метода состоит в том, что удается минимизировать сумму квадратов отклонений фактических значений признака-результата от теоретических, рассчитанных на основе уравнения регрессии, что оценивает степень аппроксимации поля корреляции уравнением регрессии.
Задача состоит в решении задачи на экстремум, то есть найти при каких значениях параметров а и в функции S достигает минимума.
Проводя дифференцирование, приравниваем частные производные к нулю и , получаем систему уравнений. Решая ее, находим значения параметров а и в.
|
|
Параметр в в уравнении регрессии называется коэффициентом регрессии и характеризует на сколько единиц своего измерения изменится признак-результат при изменении признака-фактора на единицу своего измерения. Знак при коэффициенте регрессии характеризует направленность зависимости (прямая или обратная). Параметр а в уравнении регрессии содержательно не интерпретируется, а характеризует лишь расположение линии на графике.
Пример.
Данное уравнение показывает тенденцию зависимости заработной платы (у) от прожиточного минимума (х). Коэффициент в (в данном случае равный 0,92) характеризует следующее: при увеличении на 1 рубль потребительской корзины заработная плата возрастает на 92 копейки.