Производной функции в точке по направлению называется предел
где
если предел существует.
Если функция дифференцируема, то производная по направлению вычисляется по формуле
(1)
где – направляющие косинусы вектора
В частности, если – функция двух переменных, то формула (1) производной по направлению примет вид:
(2)
где – угол между вектором и осью Ох.
Градиентом функции в точке называется вектор
(3)
или, то же самое,
Связь между градиентом функции и производной по направлению устанавливает формула
где – угол между векторами и
Градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшее значение производной достигаемое в направление градиента, равно
В частности, если – функция двух переменных, то