2015-01-30
1306
Если через точку М(x 0, y 0, z 0 ) некоторой поверхности S провести всевозможные кривые и к ним в этой точке провести касательные прямые, то окажется, что все эти касательные лежат в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М, а перпендикуляр к касательной плоскости, восстановленный к ней в точке касания М, называется нормалью к поверхности.
Пусть поверхность задана уравнением 
, где 
- дифференцируемая функция, тогда уравнение касательной плоскости в точке М( x 0, y 0, z 0 ) поверхности S есть 
, (2)
а уравнение нормали к поверхности в точке 
: 
. (3)
Пример 5. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке 
.
Решение:
1). Проверим, принадлежит ли точка М 0поверхности 
. Для этого подставим ее координаты в уравнение этой поверхности. В результате получится верное равенство. Следовательно, точка 
принадлежит поверхности 
.
2). Определим частные производные первого порядка и вычислим их значения в точке касания:
, 
, 
, 
.
3). Так как поверхность задана в явном виде, то уравнение касательной плоскости будет иметь вид (2): 
или 
.
4). Уравнение нормали запишется в виде (3): 
.
