Свойства матриц с действительными элементами

Будем рассматривать матрицы A=[a_ij] элементы которых а_ij действительны; такие матрицы называются действительными или вещественными.

Пусть А = [a_ij] — действительная квадратная матрица порядка n. Таккак ее характеристическое уравнение

det (A — λE) = 0

есть полином с действительными коэффициентами, то корни λ₁, λ₂,..., λ _п характеристического уравнения, представляющие собой собственные значения матрицы А, в случае их комплексности попарно сопряжены, т. е. если λ _s есть собственное значение матрицы А, то сопряженное число λ^*_sтакже является собственным значением матрицы А и имеет ту же кратность.

Действительная матрица может не иметь действительных собственных значений. Однако в одном важном случае, когда элементы матрицы положительны, гарантируется существование хотя бы одного действительного собственного значения.

Теорема Перрона. Если все элементы квадратной матрицы положительны, то наибольшее по модулю собственное значение ее также положительно и является простым корнем характеристического уравнения матрицы, причем ему соответствует собственный вектор с положительными координатами.

Собственные векторы действительной матрицы А с различными собственными значениями в общем случае комплексные и не обладают свойством ортогональности. Однако, привлекая собственные векторы транспонированной матрицы А', можно получить так называемые соотношения биортогональности, которые для случая симметрической матрицы эквивалентны обычным соотношениям ортогональности.

Теорема 4.1. Если матрица А — действительная и собственные значения ее попарно различны, то существуют два базиса {х_j} и {x´_j} пространства Е_п, состоящих соответственно из собственных векторов матрицы А и собственных векторов транспонированной матрицы А', удовлетворяющих следующим условиям биортонормировки:

Доказательство. Пусть λ₁, λ₂,..., λ _п — собственные значения матрицы А. Так как матрица А — действительная, то, как мы знаем, собственные значения ее — попарно сопряженные, т. е. наряду с собственным значением λ_j, сопряженное число λ_j^*_;- также является собственным значением матрицы А. Обозначим через x_j (j = 1, 2,..., п) соответствующие собственные векторы матрицы А, т. е.

Ax_j=λ_jx_j (j =1, 2,..., n). (4.1)

Векторы { x_j } образуют базис пространства Е_п.

Так как определитель не изменяет своего значения при замене строк столбцами, то

det(A-λE)

и, следовательно, транспонированная матрица А' имеет те же собственные значения λ_j, что и матрица А. Пусть x_j (j=1, 2,...,n) — собственные векторы матрицы А', соответствующие сопряженным собственным значениям λ_j^*, т. е.

(j =1, 2,..., n) (4.2)

Векторы также образуют базис пространства Е_п. Базисы { x_j } и биортогональны, а именно:

(x_j,)=0 при j ≠ k. (4.3)

Действительно, с одной стороны, имеем:

(Ax_j, )=(λ _jx_j, )= λ _j (x_j, ). (4.4)

С другой стороны, учитывая вещественность матрицы А, получаем:

(Ax_j, )= (x_j, )= (x_j, λ_k^*)= λ_k(x_j, ). (4.5)

Из равенств (4.4) и (4.5) выводим:

λ _j (x_j, )= λ _k (x_j, ). (4.6)

Taк как λ_j≠λ_k при j≠k, тоиз равенствa (4.6) вытекает равенство (4.3).

Покажем, что векторы { x_j } и можно нормировать так, чтобы

(x_j, )=1 (j = 1, 2, …, n). (4.7)

В самом деле, разлагая вектор x_j по векторам базиса {}, будем иметь x_j=.

Отсюда, учитывая условие биортогональности (4.3), получим:

поэтому

Взяв вместо векторов векторы , получим требуемую нормировку (4.7), так как

Таким образом, если собственные значения действительной матрицы A различны, то длясобственного базиса { x_j } матрицы A всегда можно найти собственный базис транспонированной мaтрицы такой, что

, (4.8)

где δ_jk — символ Кронекера.

Следствие. Если матрица A — действительная и симметрическая (A´=A), то можно положить: x´_j=x_j (j=1,2,…,n), где x_j — нормированные собственные векторы матрицы A.

Тогда

(x_j, x_k)= δ_jk

Выведем еще так называемое билинейное разложение матрицы A.

Теоремa 4.2. Пусть A — квадратная действительная матрица и

(j=1,2,…,n) — ee собственныe векторы, рассматривaeмые как матрицы – столбцы, и

X´_k=[x´₁_k, …, x´_nk]

(k = 1, 2,..., n) — соответствующие coбcmвeнныe вeкmopы mpaнcnoнupoвaннoй матрицы A´, paccматриваемыe как матрицы-сmpoки, npuчем выnoлнeны условия 6uopmoнормировки (4.8):

(X_j,X_k^´)=X_k^´X_j=δ_jk. (4.9)

Тогда имеет место соотношение

A=λ₁X₁X´+₁λ₂X₂X´₂+...+λ_nX_nX_n´, (4.10)

гдe λ₁, λ₂,..., λ_n — co6cmвенные значения матрицы A.

Доказательство. Рассмотрим матрицы

состоящие соответственно из столбцов X_j (j = 1,..., n) и строк X_k´ (k =l,…, n). В силу равенства (4.9) будем иметь:

, (4.11)

где E — единичная матрица. Taк как матрица X состоит из линейно независимых столбцов, то она — неособенная, т. е. detA≠0 и, следовательно, существует обратная матрица X^-1. На основании равенства (4.11) имеем:

X^-1=X´

Отсюда вытекает, что

XX´=E

и, таким образом, мы получаем вторые соотношения биортогональности

. (4.12)