double arrow

Наибольшее по модулю собственное значение вещественное, кратное


B этом случае формула (5.3) остается верной, но несколько первых членов можно соединить вместе, так что

yk=c1λ1k+ cr+1λr+1k+…+ cnλnk

где r кратность λ1.

Все дальнейшие рассуждения остаются в силе и потому

. (5.10)

Таким образом, и в этом случае, при условии a1≠ 0, отношение yk-1/yk дает приближенное значение наибольшего собственного числа.

Вопрос о кратности корня не может быть решен без более детального исследования.

Векторы Yk=AkY0, так же как и в предыдущем случае, сходятся по направлению к одному из собственных векторов, принадлежащих λ1, именно к собственному вектору, лежащему в циклическом подпространстве, порожденном вектором Y0. Исходя из различных начальных векторов, мы придем, вообще говоря, к различным собственным векторам.

Два наибольшие по модулю собственные значения вещественны и противоположны по знаку.Из равенства (5.3) мы видим, что в этом случае четные и нечетные итерации имеют различные коэффициенты при соответствующих степенях λ1, так как

y2k=(c1+c212k+c3λ32k+…+cnλn2k,

y2k+1=(c1-c212k+1+c3λ32k+1+…+cnλn2k+1,

и поэтому две соседние итерации не могут быть использованы для определения λ1. Однако, мы можем определить λ12 по одной из следующих формул:




λ12=y2k+2/y2k или λ12=y2k+1/y2k-1. (5.11)

Для нахождения собственных векторов, принадлежащих λ1 и λ2 =- λ1, целесообразно построить векторы Yk+ λ1Yk-1 и Yk - λ1Yk-1. Отношения компонент этих векторов будут стремится, соответственно, к отношению компонент векторов U1 и U2, принадлежащих собственным числам λ1 и λ2.

Действительно, в силу равенства:

Yk=a1λ1kU1+a2(-λ1)kU2+a3λ3kU3+… (5.12)

имеем

Yk+ λ1Yk-1=2 a1 λ1kU1+ a331) λ3k-1 U3+…=λ1k[2a1U1+O(λ3/ λ1)k],

Yk1Yk-1=2a2(-λ1)kU2+a3313k-1U3+…=(-λ1)k[2a2U2+O(λ31)k]. (5.13)







Сейчас читают про: