double arrow

Точечные оценки генеральной совокупности. Свойства оценок

Определение. Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Предположим из теоретических соображений мы установили, какое распределение имеет этот признак. Наша задача – оценить параметры, которыми определяется это распределение.

Например, если известно, что изучаемый признак распределён в генеральной совокупности по нормальному закону, то необходимо оценить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.

Обычно имеются лишь данные выборки. Через эти данные и выражаются оцениваемые параметры.

Для того, чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определённым требованиям:

1) статистическая оценка должна быть несмещённой,

2) статистическая оценка должна быть эффективной,

3) статистическая оценка должна быть состоятельной.

Определение. Статистическая оценка параметра называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру . В противном случае оценка называется смещённой.

Определение. Статистическая оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных при заданном объёме выборки.

Определение. Статистическая оценка называется состоятельной, если при выборке большого объёма статистическая оценка стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Приведём некоторые теоремы об оценках:

Теорема. Выборочная доля - есть несмещенная, эффективная и состоятельная оценка генеральной доли .

Теорема. Выборочная средняя - есть несмещенная, эффективная и состоятельная оценка генеральной средней .

Теорема. Выборочная дисперсия - есть смещённая и состоятельная оценка генеральной дисперсии .

То есть математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно .

Поэтому, чтобы «исправить» выборочную дисперсию до несмещённой оценки достаточно умножить на дробь . Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обозначают через .

Определение. Исправленной выборочной дисперсией называется величина

.

- исправленное среднеквадратическое отклонение.

Исправленная дисперсия является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, так как .

Если , то , то есть .

Следовательно, выборочная и исправленная дисперсия приблизительно равны .


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: