2014-02-09
1657
Пусть необходимо определить вид и параметры закона распределения некоторой случайной величины. Параметры распределения, как правило, не известны, поэтому их заменяем наилучшими оценками по выборке. Как бы хорошо не был подобран закон распределения, между эмпирическим и теоретическим распределениями неизбежны расхождения. Необходимо ответить на вопрос: эти расхождения являются случайными, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно. Для ответа служат критерии согласия.
Определение. Критерий согласия – это некоторая случайная величина, характеризующая степень расхождения теоретического и эмпирического распределений.
Имеется несколько критериев согласия. Мы рассмотрим критерий согласия Пирсона 
(хи-квадрат). Данный критерий основан на сравнении эмпирических частот и теоретических частот.
Определение. Теоретическими частотами называют частоты 
, найденные в отличие от фактически наблюдаемых частот 
теоретически и равные
|
|
|
,
где 
- число испытаний, 
- вероятность попадания с.в.
в 
- й частичный интервал, вычисленная при условии, что с.в. имеет определенное распределение.
Если предполагаем, что с.в. распределена нормально, то
,
где - объём выборки; 
- длина частичного интервала; 
- выборочное среднеквадратическое отклонение; 
, где 
- середина i-го частичного интервала, 
- выборочная средняя, 
- затабулированная функция.
Итак, пусть по выборке объёма получено эмпирическое распределение
|
| 
| 
| 
| … | 
|
|
| 
| 
| 
| … | 
|
Допустим, что вычислены теоретические частоты
|
| 
| 
| 
| … | 
|
При уровне значимости 
проверяем нулевую гипотезу 
- генеральная совокупность распределена по нормальному закону. В качестве критерия проверки гипотезы применим случайную величину , равную сумме квадратов отклонений эмпирических частот от теоретических:
. (10.1)
Доказано, что при 
закон распределения случайной величины (10.1), независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения с 
степенями свободы. Поэтому случайная величина (10.1) и обозначена через , а сам критерий называется критерием согласия .
Число степеней свободы 
,
где 
- число частичных интервалов выборки, 
- число параметров предполагаемого распределения. В случае нормального распределения 
(
).
Т.о. для нормального распределения 
.
