Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Критерий согласия Пирсона

Пусть необходимо определить вид и параметры закона распределения некоторой случайной величины. Параметры распределения, как правило, не известны, поэтому их заменяем наилучшими оценками по выборке. Как бы хорошо не был подобран закон распределения, между эмпирическим и теоретическим распределениями неизбежны расхождения. Необходимо ответить на вопрос: эти расхождения являются случайными, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно. Для ответа служат критерии согласия.

Определение. Критерий согласия – это некоторая случайная величина, характеризующая степень расхождения теоретического и эмпирического распределений.

Имеется несколько критериев согласия. Мы рассмотрим критерий согласия Пирсона (хи-квадрат). Данный критерий основан на сравнении эмпирических частот и теоретических частот.

Определение. Теоретическими частотами называют частоты , найденные в отличие от фактически наблюдаемых частот теоретически и равные

,

где - число испытаний, - вероятность попадания с.в.в - й частичный интервал, вычисленная при условии, что с.в. имеет определенное распределение.

Если предполагаем, что с.в. распределена нормально, то

,

где - объём выборки; - длина частичного интервала; - выборочное среднеквадратическое отклонение; , где - середина i-го частичного интервала, - выборочная средняя, - затабулированная функция.

Итак, пусть по выборке объёма получено эмпирическое распределение

				…
				…

Допустим, что вычислены теоретические частоты

…

При уровне значимости проверяем нулевую гипотезу - генеральная совокупность распределена по нормальному закону. В качестве критерия проверки гипотезы применим случайную величину , равную сумме квадратов отклонений эмпирических частот от теоретических:

. (10.1)

Доказано, что при закон распределения случайной величины (10.1), независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения с степенями свободы. Поэтому случайная величина (10.1) и обозначена через , а сам критерий называется критерием согласия .

Число степеней свободы ,

где - число частичных интервалов выборки, - число параметров предполагаемого распределения. В случае нормального распределения ().

Т.о. для нормального распределения .