Оценка тесноты корреляционной зависимости

Представим уравнение (11.2) в другом виде. Подставим в него выражение для :

. (11.3)

Из формулы (11.3) видно, что коэффициент регрессии показывает на сколько единиц изменится переменная при увеличении переменной на 1 единицу. Это не всегда является удобным, так как зависит от единиц измерения.

Умножим на , тогда (11.3) имеет вид

Обозначим через . (11.4)

Определение. Величина является показателем тесноты связи и называется выборочным коэффициентом корреляции, равный

. (11.5)

Выборочный коэффициент корреляции показывает на сколько величин изменится в среднем , когда увеличится на одно .

Т.к. формула для (11.5) симметрична относительно двух переменных, то можно записать:

. (11.6)

Найдя произведение обеих частей равенств (11.4) и (11.6), получим

или

т.е. коэффициент корреляции есть средняя геометрическая коэффициентов регрессии, имеющая их знак.

Т.о. теоретическая линия регрессии по имеет вид:

Аналогично определяется теоретическая линия регрессии по :

Замечание. Обе теоретические линии регрессии проходят через точку .

Найдем уравнения теоретических линий регрессии для нашей таблицы распределения.

Вычислим коэффициент корреляции . Для этого проведем расчеты , , , , .

=, =.

Т.о.

Теоретическая линия регрессии на :

или

Теоретическая линия регрессии на :

или

Свойства выборочного коэффициента корреляции r

1) - абсолютная величина не превосходит единицы.

2) При корреляционная связь представляет собой линейную функциональную зависимость. При этом линии регрессии по и по совпадают.

3) При линейная корреляционная связь отсутствует. Линии регрессии параллельны осям координат.

4) Если , то с.в.и связаны корреляционной зависимостью. Чем ближе к единице, тем сильнее эта зависимость.

Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции

Пусть из двумерной генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найден выборочный коэффициент корреляции . Так как выборка случайная, то нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности также отличен от нуля. Поэтому при заданном уровне значимости проверяем гипотезу об отсутствии линейной корреляционной связи между переменными в генеральной совокупности, т.е. : .

Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, а Х и Y связаны линейной зависимостью.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

Величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Правило проверки нулевой гипотезы. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу : , надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения Стьюдента найти критическую точку .