Касательное пространство к поверхности

- матрица Якоби в точке

- касательное пространство к поверхности в точке .

Утв.: состоит из касательных прямых, проведённых к кривым, проходящим через точку и принадлежащим .

Касательная к поверхности в

- координатные линии

- касательный вектор к координатной линии

- вектор нормали в точке

- уравнение касательной плоскости в векторной форме

- уравнение касательной плоскости в координатной форме

Пример 1:

Пример 2:

- нормаль

Площадь поверхности в Евклидовом пространстве

1.

- ортонормированный базис

- ориентированный объём парал-да, натянутого на векторы

2. - -мерная поверхность в

- некий криволинейный параллелепипед в

- параллелепипед на касательном пространстве

- объём параллелепипеда, натянутого на вектора .

Опр.:

- объём поверхности

Замечание:

Это определение имеет смысл, если область измерима по Жордану.

Пример 1:

Пример 2:

Опр.:

- -мерная поверхность

1.

2.

Утв.:

Если: - кусочно-гладкая поверхность

То: после удаления из конечного или счётного числа поверхностей размерности не выше, чем , распадается на конечное число гладких поверхностей.

Пример:

После удаления из куба рёбер и вершин, он распадается на 6 гладких коверхностей.

Опр.:

Замечание.

Если из поверхности удалить множество меры ноль, то площадь не изменится, но полученную поверхность возможно можно будет задать одной локальной картой.

Утв.:

Если:

То:

Док-во:

Площадь поверхности в

Если:

То: