Первый замечательный предел

Пусть при.

Замечательные пределы

Следствия: ; .

2. Второй замечательный предел или .

Следствия: ; .

; ; ; ;

; ;

; ; ;

4⁰. Бесконечно малые функции (БМФ)

Определение 1. Функция - бесконечно малая при (или ), если

(1)

Для бесконечно малых функций справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Если – бесконечно малые функции при , то бесконечно малыми являются также:

1) ; (2)

2) .

Доказательство. 1) т.к. функции бесконечно малые, то по определению . Рассмотрим предел суммы (2):

.

2) аналогично.

Примечание. Условие теоремы 1 указывает, что количество БМФ произвольное, но конечное. Если рассматривать бесконечное количество функций, то их сумма и произведение уже могут не быть бесконечно малой функцией.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции при и ограниченной функции является бесконечно малой функцией при .

Теорема 3. Для того, чтобы число А было пределом функции в точке необходимо и достаточно, чтобы

, (3)

где бесконечно малая функция при .

Доказательство. I. Необходимость. Пусть . Докажем, что выполняется равенство (3). Обозначим

(4)

Докажем, что бесконечно малая функция при . Вычислим предел

.

Доказали, что БМФ. Из (4) получаем (3).

II. Достаточность. Допустим, что выполняется равенство (3). Докажем, что в таком случае .

Вычислим предел:

.