Предел функции в точке и на бесконечности

Тема 1. Предел функции

Раздел: Предел и непрерывность функции

Допустим, что функция определена в некоторой области . Будем рассматривать понятие предела функции в точке .

Можно дать определение функции в точке по Гейне (см. конспект1-го курса) и по Коши.

Определение 1 (по Гейне). Число называется пределом функции в точке , если функция определена в некоторой окрестности точки (за исключением, может быть, самой точки ), и для всякой последовательности из окрестности и , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу , т.е. .

Записывают

.

Определение 2 (по Коши). Число А называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число , что для всех таких , что

(1)

выполняется неравенство

. (2)

Заметим, что число выбирается как «своё» (по значению) для каждой точки и для каждого , т.е. .

Первое определение называется также определением предела функции «на языке последовательностей», а второе – определением предела «на языке » (эпсилон-дельта).

Определение 2 можно дать в геометрической форме. Используя свойство модуля неравенство (1) можно записать в виде

, т.е.

,

.

Аналогично из (2) .

Определение 3 (геометрическая форма определения Коши). Число А – предел функции в точке , если функция определена в некоторой проколотой окрестности точки и если для всякой окрестности точки А существует проколотая окрестность точки такая, что как только аргумент принадлежит этой проколотой окрестности, то значение функции принадлежит окрестности точки А.

Дадим графическую иллюстрацию этого определения.

Для того, чтобы доказать графически, что число А является пределом функции в точке , необходимо выбрать произвольную окрестность точки А, т.е. интервал с центром в точке А длины , который лежит на оси . Для каждого произвольного интервала доказать, что существует интервал точки на оси , что как только рассматривает аргументы из этого интервала, то соответствующие значения функции попадают в интервал точки А.

Можно доказать эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне.

Не всякая функция имеет предел в точке. Например, функция в точке предела не имеет. В этой точке он неопределен вообще. Не имеет предела в точке функция . По определению предела это должно быть число. Функция при не стремится к конечному числу.

Т.о. относительно предела функции в точке возможны следующие случаи:

I. Функция имеет предел в точке. Это число.

II. Функция не имеет предела в точке:

1) она является бесконечно большой в этой точке, и хотя предела в этом случае нет, записывают

.

2) Предел не определен вообще и не ясно, к чему стремится функция в данной точке.

Кроме определения предела в точке рассматривают предел функции на бесконечности, т.е. при . В этом случае окрестностью называется множество точек . Относительно предела функции на бесконечности возможны следующие случаи:

I. Предел существует, и это число (рис. 1);

II. Предел не существует:

1) , т.е. функция является бесконечно большой, и записывают (рис.2);

2) предел неопределен вообще (рис. 3).