2014-02-09
3269
Складские системы промышленных предприятий содержат от нескольких десятков до нескольких тысяч наименований различных продуктов. Эти продукты размещаются на складских помещениях, которые ограничены; в них вложены различные оборотные средства; объемы заказываемых партий различны и т.д. Поэтому возникает необходимость оптимизировать управление многопродуктовыми запасами. А для этого нужно строить математические модели. В случае многопродуктовых запасов, модели можно разделить на три типа:
- модели, в которых взаимодействие между продуктами проявляется после поставки;
- модели с полным совмещением заказов;
-модели с частичным совмещением заказов.
Как правило, оптимизация проводится лишь по 5-10% продуктов, суммарная потребность в которых в стоимостном выражении составляет 60-70%.
9.3.1. Раздельная оптимизация. Предположим, что многопродуктовая система включает N видов хранимой продукции, меду запасами которых отсутствует взаимодействие. Тогда общие издержки системы в единицу времени, связанные с размещением заказов и содержанием запасов N видов продукции составят:
|
|
|
. (9.5)
Издержки N видов продуктов являются функцией 
переменных: 
. Воспользуемся необходимым условием экстремума функции 
переменных. Для этого вычислим частные производные 
:
,
приравняем их к нулю:
и найдем минимальные величины партий поставок n продуктов:
, 
; (9.6)
длины циклов поставки продуктов: 
Тогда минимальные издержки в единицу времени составят:
.
Ограничения на складские площади. Предположим, что общая складская площадь ограничена величиной 
, а единица продукции 
го вида требует 
единиц складской площади. Обозначим через 
величину партии поставки продукции го вида. Тогда ограничение на складские площади примет вид: 
. Так как партии поставок поступают независимо друг от друга, то в левую часть неравенства следует ввести нормировочный множитель 
. Тогда получим неравенство
. (9.7)
Если 
, то это значит, что запасы всех продуктов пополняются одновременно, и, следовательно, занятая ими площадь будет максимальной. Если 
, то запасы всех видов продуктов пополняются в разное время, а уровень запасов и занятая ими площадь являются средними. Поскольку маловероятно, чтобы средний размер средств, вложенных в запасы, окажется меньше половины имеющейся площади, т. е. максимального уровня, то считают, что 
Для нахождения экстремума функции издержек (9.5) при ограничениях (9.7) на складские площади воспользуемся методом нахождения условного экстремума. Составим функцию Лагранжа:
,
где 
- неопределенный множитель Лагранжа. Вычислим производные функции 
по переменным и 
:
|
|
|
,
,
приравняем их к нулю 
, 
и составим систему:
Преобразуем систему к виду:
,
; (9.8)
(9.9)
Подставив значения из (9.8) в (9.9), получим уравнение:
, (9.10)
из которого находим значение . Подставив найденное значение в (9.8) определяем оптимальные партии поставок . Так как в выражении (9.8) знаменатели удовлетворяют неравенству 
, то размеры оптимальных партий поставок уменьшаются при увеличении , что влечет увеличение издержек системы:
.
Это связано с тем, что вследствие уменьшения объема партии поставки растет их число в плановом периоде. Причем повышение издержек на размещение заказов превосходит их снижение от содержания запасов вследствие сокращения среднего уровня запасов.
Оптимальные партии поставок найдем, если определим из (9.10). Множитель Лагранжа можно найти методом дихотомии, золотого сечения, Фибоначчи.
Определим экономическую интерпретацию множителя Лагранжа . Для этого вычислим частную производную функции Лагранжа по . Частная производная равна 
, т.е. 
(так как при вычислении частной производной по M все другие величины, считаются постоянными). Следовательно, приращение функции приближенно равняется произведению производной на приращение аргумента , т.е. 
. Поскольку функция определяет издержки в единицу времени, а М – площадь склада, то при 
получим 
. Следовательно, множитель Лагранжа показывает на сколько можно сократить минимальные издержки системы в единицу времени, увеличив ограниченные складские площади на единицу площади.
Ограничения на величину оборотных средств. Аналогично решаетcя задача, если ограничения накладываются на величину оборотных средств, вложенных в запасы. Если 
- максимально допустимая величина оборотных средств, вложенных в запасы; 
– стоимость единицы 
- той продукции, то ограничение имеет вид:
. (9.11)
Составив функцию Лагранжа
вычислив частные производные 
и 
, приравняв их к нулю ,, преобразуем полученную систему к виду:
Неопределенный множитель Лагранжа в этой модели, показывает на сколько денежных единиц уменьшаются затраты в системе, если оборотные средства увеличиваются на одну денежную единицу.
Если нужно найти минимальные издержки (9.5), при ограниченных на складские площади (9.7) и на оборотные средства (9.11), вложенные в запасы, то составляется функция Лагранжа вида:
.
Вычислив частные производные функции по переменным , 
и 
, приравняв их к нулю, получаем систему:
решив которую, найдем оптимальную партию поставок. Поскольку решение системы достаточно сложно, то вначале можно поступить следующим образом. Определяем 
по формуле (9.6) без учета ограничений и подставляем их в ограничения (9.7) и (9.11). Если неравенства выполняются, то ограничения несущественны и является оптимальным. Если же хотя бы одно неравенство не выполняется, то решаем задачу при одном ограничении на площади или на оборотные средства. Полученные значения , подставляем в другие ограничения и если они будут удовлетворять этому ограничению, то найденные значения будут оптимальными. Если же значения не удовлетворяют другому ограничению, то решаем задачу вначале с этим ограничением и найденные значения подставляем в первое ограничение. Если и эти значения не удовлетворяют ограничениям, то решаем задачу в общем случае.
Пример 9.8. В сборочный цех поступают комплектующие изделия пяти видов. Цех располагает складской площадью 260 м2. Данные о потребностях, издержках размещения заказов, издержках содержания запасов, расход площади на единицу комплекта представлены в таблице 9.2:
Таблица 9.2
| Комплектующие, ()
| Интенсивность потребления, , (шт./год)
| Издержки размещения заказа,  ,(ден. ед.)
| Расход площади на одно комплектующее изделие (м2/шт.)
| Издержки содержания в год, Si, (ден. ед.) |
| 1,5 |
Определить оптимальные партии поставок при ограничении на максимальный уровень запаса и издержки работы системы управления запасами.
|
|
|
Решение. Если не учитывать ограничения на площадь, то оптимальные размеры поставок на - тый вид комплектующих определим по формуле Уилсона:
(шт.) 
(шт.)
(шт.) 
(шт.)
(шт.)
Так как ограничение накладывается на максимальный уровень запаса, то проверим, выполняется ли неравенство (9.7) при :
.
Из этого неравенства следует, что если запасы пополняются одновременно, то занятая ими площадь намного превышает существующую. Поэтому для нахождения 
, удовлетворяющих ограничению (9.7) при h = 1, составим уравнение (9.10) относительно :
или
. (9.12)
Для решения этого уравнения применим метод половинного деления отрезка. Подбор значений и вычисление соответствующих значений сведем в таблицу 9.3, в последнем столбце которой будем записывать значение левой части уравнения (9.12).
Таблица 9.3
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 17,89 | 18,65 | 39,28 | 26,31 | 19,07 | 96,38 | |
| 16,33 | 17,54 | 31,33 | 23,72 | 18,26 | 49,15 | |
| 15,12 | 16,61 | 26,83 | 21,76 | 17,54 | 18,98 | |
| 14,14 | 15,81 | 23,84 | 20,23 | 16,90 | -2,89 | |
| 3,5 | 14,61 | 16,20 | 25,21 | 20,95 | 17,21 | 7,325 |
| 3,75 | 14,37 | 16,00 | 24,49 | 20,58 | 17,06 | 3,875 |
| 3,875 | 14,25 | 15,90 | 24,16 | 20,40 | 16,98 | -0,49 |
| 3,85 | 14,28 | 15,92 | 24,23 | 20,44 | 16,99 | 0,045 |
Метод половинного деления отрезка основан на следующей теореме дифференциального исчисления: «Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков (
), то на этом отрезке существует точка 
, в которой функция обращается в нуль, т.е. 
.»
Если возрастает, то левая часть уравнения (9.12) является монотонно убывающей функцией. Поэтому, существует только одно значение 
, при котором функция обращается в нуль, и это значение будет корнем уравнения.
Для нахождения значения воспользуемся сформулированной теоремой.
Придавая значения 
, мы находим отрезок, на котором функция 
принимает значения разных знаков. Это будет обозначать, что на этом отрезке существует значение , в котором функция 
обращается в нуль. Следующим значением будет середина этого отрезка 
. Из двух полученных отрезков 
и 
выбираем тот, на концах которого функция имеет разные знаки. Снова находим его середину и т.д. Процесс деления отрезка продолжается до тех пор, пока не будет выполнена заданная точность, т.е. значение функции 
.
|
|
|
Если =0, то 
и значения вычисляем по формуле Уилсона. Если 
, то 
, 
, 
, 
, 
;
.
Если =2, то
, 
, 
, 
, 
;
.
Если =3,то
, 
, 
, 
, 
;
Если =4,то
; 
, 
; 
; 
;
.
Итак, на отрезке [3;4] функция 
принимает значения разных знаков. Следовательно, корень уравнения (9.12) находится на этом отрезке.
Следующее значение равно середине этого отрезка - 
. Тогда
; 
; 
; 
; 
;
Так как 
, то корень уравнения (9.12) находится на отрезке [3,5;4]. Положим 
. Тогда
; 
; 
; 
; 
;
Положим 
. Тогда
; 
; 
; 
; 
; 
Так как 
, то корень находится на отрезке [3,75; 3,875]. Поскольку заданная точность выполнена, то положим 
:
; 
; 
; 
; 
;
Если бы не было ограничений на складские площади, то среднегодовые затраты составили бы: 
(ден. ед. в год). При ограничениях среднегодовые издержки равны:
9.3.2. Полное совмещение заказов. При пополнении запасов из одного источника несколько заказов объединяются. Тогда суммарные издержки размещения заказов будут пропорциональны числу одновременно заказываемых продуктов: 
, где 
- фиксированные издержки, не зависящие от числа одновременно заказываемых продуктов и от величины партии поставок; 
(
) – доля издержек, связанная с размещением заказа по каждому продукту. Предположим, что спрос -стационарный детерминированный, поставки –мгновенные, дефицит не допускается, период возобновления заказа 
- один и тот же для всех продуктов. Тогда издержки размещения заказов и содержания запасов в единицу времени будут вычисляться по формуле:
(9.13)
Издержки 
являются функцией периода возобновления заказа 
. Для определения минимума этой функции, вычислим производную 
, приравняем ее нулю: 
, т.е. 
и найдем оптимальный период совместного размещения заказов всех N продуктов:
(9.14)
так как 
.
Величины оптимальных партий поставок вычислим по формулам:
. (9.15)
Минимальные затраты в единицу времени составят:
. (9.16)
Часто необходимо минимизировать издержки полного совмещения заказов с ограничениями на складские площади или оборотные средства, вложенные в запасы. Ограничения на складские площади записывается в виде:
или 
, (9.17)
где 
- площадь занимаемая единицей i-го вида продукции, –площадь слада; 
. Ограничение на оборотные средства, вложенные в запасы, записываются в виде неравенства:
(9.18)
В случае одного ограничения (9.17) задача решается по следующей схеме. Вычисляем 
по формуле (9.14) без учета ограничений. Подставляем найденное в неравенство (9.17). Если неравенство выполняется, то 
. В противном случае, оптимальный период 
должен обратить неравенство в равенство и тогда 
и тогда оптимальные партии поставок определяются по формуле 
Если при подстановке , вычисленного по формуле (9.14), неравенство (9.18) не выполняется, то 
. В случае одновременного не выполнения двух ограничений, 
определяем по формуле:
. (9.19)
Тогда, 
, .
Пример 9.8. Торговое предприятие заказывает 10 видов обуви на обувной фабрике. Его складские площади равны 50 м2, оборотные средства, вложенные в обувь, не должны превышать 5000 ден. ед. Сведения о потребностях, издержках содержания, расходе складских площадей и стоимости обуви представлены в таблице 9.4 (1-4 столбцы).
Установлено, что издержки при заказывании зависят от количества (N) одновременно заказываемых пар обуви и они изменяются по закону:
. Определить оптимальный период повторения заказов, поставочный комплект, среднегодовые издержки.
Таблица 9.4
Спрос  (пар в год)
| Стоимость хранения,  (ден. ед. за пару в год)
| Площадь занимаемая одной парой (м2)
| Стоимость пары обуви  (ден. ед.)
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 1,4 | 0,2 | 4,4 | 13,4 | |||||
| 2,3 | 0,3 | 9,9 | 20,1 | |||||
| 1,8 | 0,25 | 26,8 | ||||||
| 2,0 | 0,35 | 26,4 | 9,24 | 369,6 | 16,1 | |||
| 1,6 | 0,15 | 30,8 | 4,62 | 523,6 | 18,7 | |||
| 1,7 | 0,25 | 28,6 | 7,15 | 614,8 | 17,4 | |||
| 1,2 | 0,2 | 37,4 | 7,48 | 22,8 | ||||
| 1,9 | 0,35 | 39,6 | 13,86 | 633,6 | 24,1 | |||
| 1,6 | 0,3 | 34,2 | 7,26 | 459,8 | 14,7 | |||
| 1,5 | 0,2 | 35,2 | 7,04 | 21,4 | ||||
| 5493,4 |
Решение. Промежуточные расчеты приведем в таблице 9.4 (столбцы 5-9). Вначале находим оптимальный период возобновления поставок по формуле (9.14) без учета ограничений:
и оптимальные размеры поставок при отсутствии ограничений: 
(столбец 6). Затем проверяем выполнение ограничений (9.17) и (9.18) (суммы в столбцах 7 и 8). Так как 
и 
, то оба ограничения существенны. Оптимальный период повторения совместного заказа десяти видов пар обуви определим по формуле (9.19):
= =
=
(дней).
Итак, через каждые 49 дней следует повторять заказ.
Оптимальный поставочный комплект находим по формуле 
(столбец 9). Среднегодовые минимальные издержки составляют: 
(ден. ед.)
