Доказательство как логическая реальность

Доказательство — это логическая операция обо­снования истинности какого-либо суждения с помощью других истинных и связанных с ним суждений.

Доказательство отличается от других рассужде­ний, например умозаключений, тем, что его целью является обоснование истинности доказуемого суж­дения.

В доказательстве выделяют три элемента: 1) дока­зываемое положение — тезис; 2) суждения, с помо­щью которых обосновывается истинность тезиса, — аргументы, или доводы, или основания доказательства; 3) логическая связь тезиса с аргументами — демонст­рация.

В качестве аргументов в доказательстве могут быть использованы: а) удостоверенные факты; б) законы науки; в) ранее доказанные теоремы; г) аксиомы и постулаты; д) определения.

Для корректного проведения процесса доказа­тельства необходимо учитывать требования, которые предъявляются ко всем элементам доказательства.

Требования к тезису:

— тезис должен нуждаться в доказательстве. Бес­смысленно пытаться доказывать очевидные вещи, определения понятий, констатации фак­тов, аксиомы и постулаты;

— тезис должен быть ясным и точным. Многие слова естественного языка являются много­значными и расплывчатыми, что обусловлива­ет неясность тезиса. Кроме того, следует иметь в виду, что в качестве тезиса лучше брать част­ные суждения, а не общие. Частное суждение легче доказать и труднее опровергнуть;

— тезис должен оставаться одним и тем же на протяжении всего доказательства. Распростра­ненная ошибка — подмена тезиса. Менее рас­пространенная — потеря тезиса.

Требования к аргументам:

— аргументы должны быть истинными суждени­ями, причем их истинность должна быть доказана. Нарушение этого требования, связанное с использованием ложного аргумента, называ­ется «основным заблуждением». Ошибка, свя­занная с использованием, может быть, и ис­тинного, но еще не доказанного аргумента носит наименование «предвосхищение осно­вания»;

— истинность аргументов должна устанавливать­ся автономно, т. е. независимо от тезиса. При нарушении этого требования мы имеем дело с ошибкой, известной как «круг в обосновании» или «крут в доказательстве»;

— совокупность аргументов должна быть непро­тиворечива. Если аргументы противоречат друг другу, то, по крайней мере, один из них ложен, а ложные аргументы ничего не дока­зывают;

— совокупность аргументов должна быть доста­точной для вывода тезиса. Один аргумент по­чти никогда не дает обоснования тезиса, его до­казательная сила мала. Но несколько аргумен­тов, находящихся во взаимной связи, способны создать прочную логическую основу для выво­да тезиса. Однако не следует злоупотреблять ко­личеством аргументов. Их должно быть дос­таточно для вывода тезиса, и не более того. Каждый лишний аргумент ослабляет доказа­тельство. Важно не количество аргументов, а их весомость.

Требования к демонстрации есть не что иное, как требования к умозаключению. Ошибки, связанные с нарушением правил умозаключений, носят общее на­звание «не следует»: тезис логически не вытекает, не следует из аргументов.

Обоснование тезиса в ходе доказательства может осуществляться прямо или косвенно. Исходя из этого различают два вида доказательства.

Прямое доказательство — это обоснование тези­са аргументами без помощи каких-либо дополнитель­ных построений. Цепь рассуждений в этом случае на­чинается с аргументов и с логической необходимое тью приводит к признанию истинности тезиса. Други­ми словами, при прямом доказательстве необходимо найти такие убедительные аргументы, из которых ло­гически вытекает тезис.

Косвенное доказательство — это обоснование ис­тинности тезиса с помощью антитезиса — суждения, противоречащего тезису. Мы обосновываем ложность антитезиса и, опираясь на закон исключенного третье­го, гласящего, что из двух противоположных суждений одно обязательно истинно, тем самым доказываем ис­тинность противоречащего ему утверждения — тези­са. Выделяют два вида косвенного доказательства.

Доказательство от противного основывается на применении закона исключенного третьего. Оно состо­ит в том, что мы начинаем выводить из антитезиса следствия и показываем, что некоторые из этих след­ствий (хотя бы одно) противоречат известным истин­ным положениям (фактам). Таким образом, принятие антитезиса ведет к противоречию (к абсурду), поэтому его следует признать ложным. Но тогда тезис необхо­димо признать истинным.

Разделительное косвенное доказательство состоит в построении разделительного суждения, элементами которого являются доказываемый тезис и некоторые несовместимые с ним утверждения (антитезисы). За­тем показывают, что, за исключением тезиса, все эле­менты разделительного суждения ложны. Следователь­но, нужно признать тезис истинным.