Необходимое условие существования производной

♦ Теорема 15.1. Если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть существует производная в точке , то есть

.

Тогда по замечанию 12.3 , где . Следовательно, . Но тогда

.

Это означает, что функция непрерывна в точке . ■

☼ Замечание 15.3. Обратное утверждение не всегда верно, то есть не всякая непрерывная в точке функция имеет производную в этой точке.☼

J Пример 15.2. Функция непрерывна в точке . Найдём

,

.

Таким образом, у функции в точке существуют односторонние производные, но они не равны и, следовательно, функция не имеет производной в точке . J

Если функция имеет производную в точке , то говорят, что дифференцируема в этой точке.