Вопросы для повторения. Фазовый портрет маятника

Фазовый портрет маятника. Адиабатический инвариант

Рассмотрим опять колебания пружинного маятника. Энергия системы определяется, как мы уже видели, следующим выражением:

.

(5.1)

Введем вместо скорости импульс: р= mx ´. Тогда равенство (5.1) можно переписать в таком виде:

.

(5.2)

Разделим это равенство на W:

,

(5.3)

или

.

(5.4)

В «пространстве» с координатными осями x и p это уравнение эллипса с полуосями и . Пространство с осями «координата - импульс» называется фазовым пространством системы.

Рис 5.1. Траектория гармонического осциллятора в фазовом пространстве.

Таким образом, траектория гармонического осциллятора в фазовом пространстве представляет собой эллипс. А площадь эллипса, задаваемого уравнением: x²/a²+y²/b²=1. равна S = π a b, тогда площадь под фазовой траекторией определяется выражением:

,

(5.5)

или

.

(5.6)

Величина площади S, заключенной внутри фазовой траектории частицы, деленная на 2π, имеет в физике специальное название- адиабатический инвариант. Для гармонического осциллятора адиабатический инвариант определяется выражением:

.

(5.8)

Величина I была названа адиабатическим инвариантом потому, что мы рассматривали движение при неизменных параметрах системы, то есть приколебаниях пружинного маятника (грузика на пружинке) неизменным параметрами были масса грузика и коэффиицент жесткости пружинки, т.е. величина k, а значит и частота ω.

Равенство (5.8) справедливо не только для колебаний грузика на пружинке, но и для любой другой системы, совершающей гармонические колебания, параметры которой испытывают медленные вариации со временем. Например, это может быть математический маятник, длина которого медленно меняется со временем.

1. Что называется:
2. гармоническим осциллятором?
3. Пружинным, физическим, математическим, маятником?
4. Приведенной длиной физического маятника, центром качений?
5. фазовым пространством системы?
6. Выведите и прокомментируйте формулы для расчета периода колебаний: а) пружинного, математического, физического маятников.
7. Выведите формулу:

а) связи между циклической частотой и коэффициентом жесткости пружины;

б) для расчета потенциальной энергии пружинного маятника;

в) вращающего момента, вращающей силы для динамического маятника;

г) для расчета приведенной длины физического маятника,

д) адиабатического инварианта.