Дифференциальное уравнение затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение

Свободными затухающими колебаниями называются колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени уменьшается.

Линейные системы - это идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются.

Линейными системами являются: пружинный маятник при малых растяжениях (когда справедлив закон Гука), колебательный контур (у которого индуктивность, емкость и сопротивление не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения).

Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний линейной системы имеет вид:

,

(7.1)

где S - колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс;

d = const - коэффициент затухания;

w_о - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т.е. при d = 0; w_о - называется собственной частотой колебательной системы.

Рассмотрим решение уравнения (7.1) в виде:

,

(7.2)

где U = U (t), найдем и .

	,	(7.3)
	.	(7.4)

Подставив (7.3) и (7.4) в (7.1) получим:

.

(7.5)

Решение уравнения (7.5) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен

;

;

,

(7.6)

то имеем

.

(7.7)

Решением уравнения (7.7) является функция: U = A_o cos (wt + j)

Тогда решением уравнения (7.1) является функция

,

(7.8)

если затухание мало, (d² << w²_о) то

,

(7.9)

амплитуда затухающих колебаний, А_о - начальная амплитуда.

Рис.7.1. График зависимости амплитуды затухающих колебаний как функция от времени

Промежуток времени, в течении которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации.

,

(7.10)

А = А_о e ^-dt, А_о/A=e; ^-dt =1 => 1/d = t

Затухающие колебания не являются строго периодическими, и понятие периода можно вводить только при малых затуханиях, как промежуток времени между двумя последующими максимумами или минимумами колеблющейся физической величины.

С учетом этого:

.

(7.11)

Логарифмическим декрементом затухания (l) называется физическая величина числено равная логарифму натуральному отношению двух амплитуд, следующих друг за другом через период:

.

(7.12)

t / N_e = T.

В СИ [ l ] = 1 - безразмерная величина, тогда из формулы связи:

.

(7.13)

[ Т ] = 1 с,

[ d ] = 1 / с = 1 с^-1

l - постоянная для данной колебательной системы величина.

N_e - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

Для характеристики колебательной системы вводят понятие добротности Q, которая при l << 0, равна:

.

(7.14)

[Q] = 1 – величина безразмерная

(так как d² << w_о², T = T₀)

Добротность, это физическая величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания.

Учтем, что l = dТ = (1/t)*(Т/1) = 1 / N_e, тогда Q = p / l = pN_e = p / dТ_о = w_о / 2d

Выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, применимы для колебаний различной физической природы (механических, электромагнитных)